88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול

2019-11-04T17:55:12Z

אסף25:

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות| חזרה לסדרות]]

==גבול של סדרה==
===ההגדרה המדויקת של סדרה===
'''הגדרה.'''
בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האבר השני וכן הלאה.

===גבול של סדרה===
תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,\ldots</math> , כך ש- <math>a_1,a_2,a_3,\ldots\in\R</math> .

לדוגמא:

<math>\bigg\{\frac1{2^n}\bigg\}_1^\infty=\frac12,\frac14,\frac18,\ldots</math>

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדויק:

====הגדרת הגבול====
'''הגדרה.'''
תהי <math>a_n</math> סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\R</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .

במקרה זה מסמנים <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> .

====הסבר ההגדרה====
נתרגם את זה למילים. למדנו כי <math>\varepsilon>0</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_\varepsilon\in\N</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה <math>L</math> על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math>

אם '''לכל''' אורך <math>(\varepsilon>0)</math> [סיר]

'''קיים''' מקום בסדרה <math>(N_\varepsilon\in\N)</math> [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_\varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה והנקודה <math>L</math> קטן מהאורך <math>\varepsilon</math> <math>(|a_n-L|<\varepsilon)</math> [מתאים לו]

===דוגמאות===
'''תרגיל.'''
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{n}</math>

'''פתרון.''' מהתבוננות באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הנו 1. נוכיח זאת.

'''יהי''' <math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' <math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> . כלומר:

:<math>\left|\dfrac{n-1}{n}-1\right|<\varepsilon</math>

נפתח את הביטוי.

:<math>\left|\dfrac{n-1}{n}-1\right|=\left|-\frac1n\right|=\frac1n</math>

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\dfrac1n<\varepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\dfrac1{\varepsilon}</math> .

נבחר, אפוא, <math>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>n>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

'''תרגיל.'''
הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\dfrac13</math>

'''תרגיל.'''
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n}</math>

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות 1. כעת, יהי <math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\varepsilon</math> .

זה שקול ל- <math>-\varepsilon<a_n-1<\varepsilon</math>

זה שקול ל- <math>1-\varepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon</math>

כיון ש- <math>n\ge1</math> הצד השמאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\varepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon</math>

כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\varepsilon)^n</math>

נביט בביטוי <math>(1+\varepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math> . נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:

:<math>(1+\varepsilon)^n=\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>

(כאשר <math>K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, <math>\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> . לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.

:<math>\begin{align}
n<\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2\\1<\frac{n-1}{2}\varepsilon^2\\n-1>\dfrac{2}{\varepsilon^2}\\n>1+\frac{2}{\varepsilon^2}
\end{align}</math>

ומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסוים בסדרה אי-השוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

אם כן, הוכחנו כי <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .

<math>\blacksquare</math>

==שלילת גבול==
:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> .

'''תרגיל.'''
הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.

נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי <math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

ניקח <math>\varepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\varepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\N</math> וניקח <math>n</math> אי-זוגי גדול ממנו.

במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.)

<math>\blacksquare</math>

==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==
;משפט
תהיינה <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B</math> . אזי:
*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>
*אם <math>B\ne0</math> אזי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}</math>

'''תרגיל.'''
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .

;פתרון
נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> ונקבל <math>a_n=\dfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math> . חזקות שליליות של <math>n</math> שואפות ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>\frac36=\frac12</math> .

'''תרגיל.'''

נניח <math>a_n\to0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n=a_n\cdot b_n</math> ?

תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:
*<math>a_n=\dfrac1n,b_n=(-1)^n</math> אזי
:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>

*<math>a_n=\frac1n,b_n=n</math> אזי
:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>

*<math>a_n=\dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי
:<math>\displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\Big[(-1)^n+1\Big]</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)

'''תרגיל חשוב מאד.'''

תהי סדרה <math>a_n\to0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

הוכח: <math>\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=0</math>

;הוכחה
יהי <math>\varepsilon>0</math> , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n\cdot b_n-0\Big|<\varepsilon</math> .

:<math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math> . מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n\to0</math> , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> (כיון ש- <math>\dfrac{\varepsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

'''דוגמא.'''
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>

'''תרגיל.'''
מצא את הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math>

;פתרון
<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math>

==אי-שוויון הממוצעים==
כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):

לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקיים:

<math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}\le\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}</math>

הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".

'''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!

אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L</math> .

;משפט
תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה
<math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

;הוכחה
נגדיר סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math> . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .

ברור כי

<math>\displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>

ולכן קיבלנו כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>

כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .

;הוכחה:
אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:

<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>

'''תרגיל.'''
תהי סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\to a</math> .

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le1</math> .

;פתרון
אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math> .

אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|<\varepsilon</math> .

נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\varepsilon)|x_n|</math> .

נניח כעת בשלילה כי <math>|L|>1</math> , ניקח <math>\varepsilon=|L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|</math>

בסתירה לכך ש- <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>

ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

;פתרון
נתבונן בסדרה <math>x_n=\begin{cases}\dfrac1n&n\text{ odd}\\0&n\text{ even}\end{cases}</math>

ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

==חוק הסנדוויץ'==
הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math> אזי בהכרח <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> .

'''דוגמא.'''
מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^\frac1n</math>

;פתרון
:<math>3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n</math>

לכן,
:<math>3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>
כיון שמתקיים
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>

סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3 .

==התכנסות במובן הרחב==
דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

'''הגדרה.'''
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math> .

הערה: שימו לב כי <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.

'''תרגיל.'''
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n!}</math>

;פתרון
נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
:<math>n!=1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).
*נקטין את החצי הראשון של האברים להיות 1, ואת החצי השני של האברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל:
:<math>n!\ge\dfrac{n}{2}\cdots\dfrac{n}{2}=\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}</math>
ולכן,
:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\dfrac{n}{2}}\to\infty</math>

קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול