בקצרה:אריתמטיקה מורחבת עונה על השאלה מה קורה לסכום, למכפלה, למנה או לחזקה של סדרות כשחלק מהן שואפות לאינסוף או רק חסומות, כלומר מחוץ לתחום של אריתמטיקה של גבולות. ברוב המקרים הגבולות של החלקים קובעים את התוצאה, ומסכמים זאת בכתיב מקוצר כמו "אינסוף ועוד אינסוף הוא אינסוף" או "חסומה חלקי אינסוף היא אפסה". בשבע צורות, המקרים הבעייתיים, הם אינם קובעים אותה: למשל בצורה [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math] ההפרש עשוי לשאוף לכל מספר, לאינסוף, או לא להתכנס כלל. לכן לפני כל חישוב מזהים את הצורה, ואם היא בעייתית מסדרים קודם את הביטוי (כפל בצמוד, חלוקה בגורם הדומיננטי) או משתמשים במשפט.
הצורה הבעייתית [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]. משמאל: הסדרות [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt{n^2+n+1} }[/math] (הנקודות המלאות) ו־[math]\displaystyle{ b_n=n }[/math] (העיגולים החלולים) שואפות שתיהן לאינסוף, וכמעט אי אפשר להבחין ביניהן; הפסים התכולים הם ההפרשים [math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math]. מימין, בקנה מידה מוגדל: ההפרשים [math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math] (הנקודות הירוקות) אינם שואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אלא ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], ואילו ההפרשים [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}-n }[/math] (המעוינים התכולים) שואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. בשני המקרים זו הצורה [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math], ובכל זאת הגבולות שונים: הגבולות של שני האיברים אינם קובעים את גבול ההפרש, ומי ש"מזניח" את [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] לעומת [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] בתוך השורש מקבל תשובה שגויה (הדוגמה השנייה בדף).
טענה 2.12.1אריתמטיקה מורחבת
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות. בסוף כל סעיף מופיע, בסוגריים, הכתיב המקוצר שלו, שאינו מדויק.
(ו) קיימת סדרה ממשית [math]\displaystyle{ c_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ c_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_n\to0 }[/math], אך לא מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{c_n}\to\infty }[/math]. ([math]\displaystyle{ \frac10\ne\infty }[/math])
(ז) אם [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to\infty }[/math]. ([math]\displaystyle{ \frac1{0^+}=\infty }[/math])
(ט) יהי [math]\displaystyle{ L>0 }[/math] מספר ממשי. אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_nb_n\to\infty }[/math]. (אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף)
(י) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה מתכנסת, אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] אינה מתכנסת. (יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי)
(יא) אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה, אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to\infty }[/math]. (אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף)
(יב) יהי [math]\displaystyle{ c>0 }[/math] מספר ממשי. אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^c\to\infty }[/math]. (אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף)
(יג) יהי [math]\displaystyle{ L>1 }[/math] מספר ממשי. אם [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to\infty }[/math]. (סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף)
(יד) יהי [math]\displaystyle{ L\in(-1,1) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to0 }[/math]. (סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס)
שבהן כל סמל מייצג סדרה ממשית השואפת אליו: [math]\displaystyle{ 0 }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. בצורות אלה הגבולות של הסדרות המרכיבות אינם קובעים את גבול הביטוי: הוא תלוי בסדרות עצמן, ואף ייתכן שאינו קיים.
במילים: אלה המקרים שבהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: זהו את הצורה, ואז חשבו
חשבו את הגבולות הבאים, או הראו שהסדרה אינה מתכנסת. בכל סעיף ציינו באיזה סעיף של טענה 2.12.1 השתמשתם. (א) [math]\displaystyle{ \frac{2+(-1)^n}{\sqrt n} }[/math] (ב) [math]\displaystyle{ n^{\sqrt n} }[/math] (ג) [math]\displaystyle{ n^2+(-1)^nn }[/math] (ד) [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^2+(-1)^n }[/math]
(א) לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1\le2+(-1)^n\le3 }[/math], ולכן המונה חסום. לפי סעיף (יב) עם [math]\displaystyle{ c=\frac12 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt n=n^{\frac12}\to\infty }[/math]. לכן לפי סעיף (ב) (חסומה חלקי אינסוף) [math]\displaystyle{ \frac{2+(-1)^n}{\sqrt n}\to0 }[/math].
(ב) הבסיס [math]\displaystyle{ n }[/math] והמעריך [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math] שואפים שניהם ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], ולכן לפי סעיף (ה) ([math]\displaystyle{ \infty^\infty=\infty }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ n^{\sqrt n}\to\infty }[/math].
(ג) כאן אי אפשר להפעיל ישירות את סעיף (יא), כי [math]\displaystyle{ (-1)^nn }[/math] אינה חסומה. נוציא גורם משותף: [math]\displaystyle{ n^2+(-1)^nn=n\left(n+(-1)^n\right) }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] חסומה, ולכן לפי סעיף (יא) [math]\displaystyle{ n+(-1)^n\to\infty }[/math]; לפי סעיף (ד) ([math]\displaystyle{ \infty\cdot\infty=\infty }[/math]) המכפלה [math]\displaystyle{ n\left(n+(-1)^n\right) }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math].
(ד) לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^2\to1 }[/math], כלומר הסדרה הזו מתכנסת, ואילו [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] אינה מתכנסת. לכן לפי סעיף (י) הסכום אינו מתכנס.
הלקח: באף סעיף אין מקרה בעייתי, ולכן מותר להשתמש בכתיב המקוצר. אבל קודם בודקים שההנחות של הסעיף מתקיימות: ב־(ג) המחובר השני אינו חסום, ולכן סידרנו את הביטוי לפני שהפעלנו את הטענה.
מקור: הסעיפים של טענה 2.12.1; בדף הקורס (rev 90835, ===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===) הם מופיעים כרשימה בלי דוגמאות. הסדרות בדוגמה הן שלי, בסגנון 'זהו את הצורה' של לוח 19.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (¶80–84 לפי R1-C15: '1^n=1→1; 0·n=0→0; אם a_n→0, a_n·n=?'); הסדרה n+(−1)^n מהטבלה במאגר 2.12-04 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓); 'אינסוף ועוד חסומה (מלרע)' עם הוכחה בתרגול 4 של לואי ומני עמ' 5 (W2b) ובלוח 12.11.20 (R1-X31).
דוגמה 2: [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]: אסור להזניח
לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}\ge n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+n+1}\ge n }[/math], ולכן לפי חצי סנדביץ' שתי הסדרות שואפות לאינסוף, וכך גם [math]\displaystyle{ n }[/math]. בשני הסעיפים זו הצורה הבעייתית [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math], ואי אפשר להציב. נכפול ונחלק בצמוד, שהוא חיובי.
(א) [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}-n }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(n^2+1)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{\sqrt{n^2+1}+n} }[/math]. המכנה הוא סכום של שתי סדרות ששואפות לאינסוף, ולכן לפי סעיף (ג) ([math]\displaystyle{ \infty+\infty=\infty }[/math]) הוא שואף לאינסוף, ולפי משפט 2.1.9 הגבול הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+n+1}-n=\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n} }[/math]. גם זה מקרה בעייתי, [math]\displaystyle{ \frac\infty\infty }[/math], ולכן נחלק את המונה ואת המכנה ב־[math]\displaystyle{ n=\sqrt{n^2} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ n>0 }[/math]):
[math]\displaystyle{ \frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1+\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n+\frac1{n^2}}+1} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{1+0}{\sqrt1+1}=\frac12 }[/math], לפי אריתמטיקה של גבולות, כאשר [math]\displaystyle{ \sqrt{1+\frac1n+\frac1{n^2}}\to1 }[/math] לפי טענה 2.8.1(ג) (הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך הוא הקבוע [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]).
הלקח: בשני הסעיפים השורש "כמעט שווה" ל־[math]\displaystyle{ n }[/math], ובכל זאת הגבולות שונים, [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]. מי שמזניח את [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] לעומת [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] בתוך השורש מקבל [math]\displaystyle{ 0 }[/math] גם ב־(ב), וטועה. בלשון הלוח: "מסקנה: אסור להזניח!"
מקור: לוח ההרצאה 9.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (09.11.20.docx ¶20–22, R1-X21, תשובה בלבד): '√(n²+1)−√(n²)→0, √(n²+n+1)−√(n²)→½. מסקנה: אסור להזניח! בני אדם, בע"ח וגבולות'; סעיף (א) עם פתרון מלא במערך התרגול תשע"ב (סדרות/גבול, §אריתמטיקה (חשבון) של גבולות); מאגר 2.4-03 (◆, ק' 1, בוחן ✓); הניסוח 'אינסוף פחות אינסוף, מקרה בעייתי, צריך להפעיל איזושהם מניפולציות אלגבריות' בסרטון 30 (S56cCgc9U38) 02:03–02:11 (https://www.youtube.com/watch?v=S56cCgc9U38&t=123s), שם על √(n+1)−√n.
דוגמה 3: אינסוף כפול סדרה: מתי המכפלה שואפת לאינסוף?
(א) יהי [math]\displaystyle{ L>0 }[/math] מספר ממשי, ותהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]. הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ a_nb_n\to\infty }[/math] (סעיף (ט) של טענה 2.12.1; בסרטון 17 ההוכחה נשארה כתרגיל). (ב) הוכיחו או הפריכו: אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_nb_n\to\infty }[/math].
(א) רעיון: החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ b_n>\frac L2 }[/math], ושם המכפלה גדולה מ־[math]\displaystyle{ \frac L2\cdot a_n }[/math], שהיא "מספר חיובי כפול אינסוף".
יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. לפי הגדרת הגבול של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac L2>0 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |b_n-L|<\frac L2 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ b_n>\frac L2 }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], עבור המספר החיובי [math]\displaystyle{ \frac{2M}L }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K_2\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>\frac{2M}L }[/math].
נבחר [math]\displaystyle{ K=\max\{K_1,K_2\} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיימים שני אי־השוויונות, וכל המספרים בהם חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ a_nb_n>\frac{2M}L\cdot\frac L2=M }[/math]. מצאנו לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] מקום מתאים, ולכן [math]\displaystyle{ a_nb_n\to\infty }[/math].
(ב) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac1{n^2} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_nb_n=\frac1n\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. לכן עבור [math]\displaystyle{ M=1 }[/math] אין אף מקום [math]\displaystyle{ n }[/math] שבו [math]\displaystyle{ a_nb_n>M }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_nb_n\not\to\infty }[/math] (למעשה [math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math]).
יותר מזה, יהי [math]\displaystyle{ c>0 }[/math]; עם [math]\displaystyle{ b_n=\frac cn>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_nb_n=c }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. בסעיף (א) ההנחה היא ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math]שואפת למספר חיובי; כאן [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math], וזו הצורה הבעייתית [math]\displaystyle{ \infty\cdot0 }[/math].
ואם [math]\displaystyle{ L<0 }[/math]: לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ -b_n\to-L>0 }[/math], ולפי (א) [math]\displaystyle{ a_n\cdot(-b_n)\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_nb_n\to-\infty }[/math].
מקור: סרטון 17 (hFa7Nv5o05M) 03:59–04:11 (https://www.youtube.com/watch?v=hFa7Nv5o05M&t=239s): 'סדרה ששואפת לביטוי חיובי או אין סוף, כפול סדרה ששואפת לאין סוף ... אני משאיר לכם את זה כתרגיל'; לוח 19.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-X47 / R1-C29, ✓בוחן: 'החל משלב מסויים a/2<a_n ... a/2·b_n<a_nb_n ... חצי סנדוויץ; על הלוח דרך חצי סנדביץ', כאן ישירות לפי ההגדרה); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 23 (G1 E27, 'נסו לבד'); remark_text של 2.12.1 ('לא מספיק שהסדרה חיובית, a/n·n=a'); מאגר 2.12-02 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓) ו־2.12-05 (הדוגמה n ו־1/n²).
דוגמה 4: שאלת בוחן: מנה כשהסכום חסום
(בוחן 1 מדמ"ח תשע"ב, שאלה 2) תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] והסדרה [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] חסומה. מצאו את [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} }[/math], והוכיחו את כל הטענות שלכם בדרך לחישוב.
נסמן [math]\displaystyle{ c_n=a_n+b_n }[/math]. זו סדרה חסומה, ו־[math]\displaystyle{ b_n=c_n-a_n }[/math].
זיהוי הצורה.[math]\displaystyle{ -b_n=a_n+(-c_n) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -c_n }[/math] חסומה, ולכן לפי סעיף (יא) [math]\displaystyle{ -b_n\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ b_n\to-\infty }[/math]. בפרט החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ b_n<0 }[/math], ושם המנה מוגדרת. היא מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{\infty}{-\infty} }[/math], כלומר מינוס המקרה הבעייתי [math]\displaystyle{ \frac\infty\infty }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}=-\frac{a_n}{-b_n} }[/math]), ולכן אי אפשר להציב.
מניפולציה. החל מאותו מקום [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}=\frac{(a_n+b_n)-b_n}{b_n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{c_n}{b_n}-1 }[/math].
חסומה חלקי אינסוף.[math]\displaystyle{ c_n }[/math] חסומה ו־[math]\displaystyle{ -b_n\to\infty }[/math], ולכן לפי סעיף (ב) [math]\displaystyle{ \frac{c_n}{-b_n}\to0 }[/math]. לפי אריתמטיקה של גבולות (כפל בסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ -1 }[/math]) גם [math]\displaystyle{ \frac{c_n}{b_n}\to0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to0-1=-1 }[/math].
דרך אחרת. אפשר לחלק דווקא ב־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] (החל ממקום שבו [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \frac{b_n}{a_n}=\frac{c_n}{a_n}-1\to-1 }[/math]. אבל זו עוד לא התשובה, כי השאלה היא על [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} }[/math], וצריך צעד נוסף: [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}=\frac1{b_n/a_n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac1{-1}=-1 }[/math] (גבול המכנה שונה מאפס).
בדיקה בדוגמה.[math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=-n+(-1)^n }[/math] מקיימות את הנתונים, כי [math]\displaystyle{ a_n+b_n=(-1)^n }[/math], ואכן [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}=\frac1{-1+\frac{(-1)^n}n}\to-1 }[/math].
מקור: בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב, 89-132 תשע"ב (18.12.11), שאלה 2 (20 נק', הקובץ 11Infi1CSBohan1.pdf; ארז כתב את הבוחן כמתרגל, ובדף הפתרון בוויקי, שכתב ארז, כתוב לשאלה זו 'משיעורי הבית'; W6c Q6a); הפתרון כמו במפתח התשובות של ש"ב תשע"א HW-A 4.4 (G5: 'b_n→−∞, ולכן (a_n+b_n)/b_n→0 ו־a_n/b_n=(a_n+b_n)/b_n−1→−1'); XI X26 (G3, 'שאלה 8'; בפתרון שם חושב lim b_n/a_n והוצג כ־lim a_n/b_n, ולכן 'דרך אחרת' כאן מדגישה את הצעד החסר); מאגר 2.12-03 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓).
טעויות נפוצות
"[math]\displaystyle{ \frac\infty\infty=1 }[/math]" שגוי: [math]\displaystyle{ \frac{2n}n\to2 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{n^2}n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac n{n^2}\to0 }[/math], אף שבשלושת המקרים המונה והמכנה שואפים לאינסוף; מאותה סיבה גם "[math]\displaystyle{ \infty-\infty=0 }[/math]" שגוי ([math]\displaystyle{ 2n-n\to\infty }[/math]).
להחליף רק חלק מהביטוי בגבולו ולהמשיך לפתח את השאר: "[math]\displaystyle{ \frac1n\cdot n\to0\cdot n=0 }[/math]" שגוי (המכפלה שווה ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]), וכך גם "[math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+n+1}-n\approx n-n=0 }[/math]" (הגבול הוא [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]); הכלל מהלוח: מחשבים בצד את הגבולות של כל החלקים, ואם התקבל מקרה בעייתי, מסדרים קודם את הביטוי.
"אינסוף כפול סדרה חיובית הוא אינסוף" שגוי: [math]\displaystyle{ \frac cn\cdot n=c }[/math] לכל [math]\displaystyle{ c>0 }[/math]; סעיף (ט) דורש שהסדרה תשאף למספר חיובי [math]\displaystyle{ L }[/math], ואם היא שואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] זו הצורה הבעייתית [math]\displaystyle{ \infty\cdot0 }[/math].
להפעיל את "אינסוף ועוד חסומה" כשהמחובר השני אינו חסום: [math]\displaystyle{ n+(-1)^nn }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] בכל מקום אי־זוגי, ולכן אינה שואפת לאינסוף (ואין לה גבול כלל).
לחשוב שכל ביטוי עם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] בעייתי: [math]\displaystyle{ 0^\infty=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \infty^\infty=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac0\infty=0 }[/math] (סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] חסומה, וחסומה חלקי אינסוף היא אפסה) נקבעים לפי הטענה; רק שבע הצורות שבהגדרה 2.12.2 בעייתיות, ו־[math]\displaystyle{ \frac10 }[/math] דורש בדיקת סימן ([math]\displaystyle{ \frac1{0^+}=\infty }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \frac10\ne\infty }[/math]).
לתרגול
מועד א' תשפ"א (החממה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \frac{6^n}{5^n+4^n}\to\infty }[/math], הצורה [math]\displaystyle{ \frac\infty\infty }[/math] (פתרון של ארז). קושי 1–2.
מבחן דמה תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 1ג: [math]\displaystyle{ \frac{7^n}{2^{n^2}} }[/math]; בפתרון של ארז [math]\displaystyle{ \left(\frac7{2^n}\right)^n\to0^\infty=0 }[/math], סעיף (ח) (פתרון). קושי 1.
בוחן 1 מדמ"ח תשע"ב · שאלה 2: [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] חסומה ו־[math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], מצאו את [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_n}{b_n} }[/math] (הדוגמה הרביעית בדף; דף הפתרון מפנה לשיעורי הבית). קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות.
אריתמטיקה של גבולות במערך התרגול · [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}-n\to0 }[/math] בכפל בצמוד, עם פתרון (סעיף (א) בדוגמה השנייה), והתרגיל "[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ולסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אין גבול": כל האפשרויות למכפלה.
תרגול 4 (לואי ומני) · עמ' 2–3: [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ול־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] אין גבול, מה אפשר לומר על [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math]; עמ' 5: [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה מלרע גורר [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to\infty }[/math], עם הוכחה.
![הצורה הבעייתית [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]. משמאל: הסדרות [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt{n^2+n+1} }[/math] (הנקודות המלאות) ו־[math]\displaystyle{ b_n=n }[/math] (העיגולים החלולים) שואפות שתיהן לאינסוף, וכמעט אי אפשר להבחין ביניהן; הפסים התכולים הם ההפרשים [math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math]. מימין, בקנה מידה מוגדל: ההפרשים [math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math] (הנקודות הירוקות) אינם שואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אלא ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], ואילו ההפרשים [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}-n }[/math] (המעוינים התכולים) שואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. בשני המקרים זו הצורה [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math], ובכל זאת הגבולות שונים: הגבולות של שני האיברים אינם קובעים את גבול ההפרש, ומי ש"מזניח" את [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] לעומת [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] בתוך השורש מקבל תשובה שגויה (הדוגמה השנייה בדף).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-21.png)