בקצרה: לסדרה יכול להיות לכל היותר גבול אחד: [math]\displaystyle{ a_n\to L_1,\ a_n\to L_2\ \Longrightarrow\ L_1=L_2 }[/math], וזה כולל גם גבולות אינסופיים. הרעיון פשוט: אילו היו שני גבולות שונים, היינו בוחרים נקודה שמפרידה ביניהם, ואז החל ממקום מסוים כל האיברים היו צריכים להיות גם מתחת לנקודה (בגלל הגבול הקטן) וגם מעליה (בגלל הגבול הגדול), וזה בלתי אפשרי. בזכות המשפט מותר לדבר על "הגבול" של סדרה (בה"א הידיעה), וכשמחשבים גבול בשתי דרכים נכונות, שתי התשובות חייבות להתלכד. ובלשון הבדיחה שבסוף הסרטון: מי שהולך לדייטים פעם עם זו ופעם עם זו לא יתכנס לאף אחת מהן.
▶ ההרצאה: הגבול הוא יחיד
הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{2\cos n}{n} }[/math] (נקודות) שואפת ל־[math]\displaystyle{ L_1=1 }[/math] (הקו הירוק). האם היא יכולה לשאוף גם ל־[math]\displaystyle{ L_2=2 }[/math]? בוחרים נקודה מפרידה [math]\displaystyle{ x=1.5 }[/math] בין שני המועמדים ורדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.5 }[/math]: הרצועה התכולה היא הסביבה של [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] שנגמרת ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], והרצועה המקווקוות היא הסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] שמתחילה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K_1=3 }[/math] האיברים (הנקודות המלאות) נמצאים ברצועה התכולה, כלומר מתחת ל־[math]\displaystyle{ x }[/math] (בסדרה כולה, לא רק בעשרים האיברים המצוירים: לכל [math]\displaystyle{ n\ge5 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-1|\le\frac2n<\frac12 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |a_4-1|\approx0.33 }[/math]). לכן לא קיים [math]\displaystyle{ K_2 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] האיבר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נמצא בסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אינו גבול של הסדרה. זה בדיוק רעיון ההוכחה: לכל [math]\displaystyle{ n>\max(K_1,K_2) }[/math] היה מתקבל [math]\displaystyle{ a_n<x }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n>x }[/math]. שימו לב ש [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] דווקא נמצא בסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]: מספר סופי של איברים קרובים ל־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אינו הופך אותו לגבול.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהיו [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a_n\to L_1 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a_n\to L_2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math].
הגדרה 2.1.12קבוצת איברי הסדרה
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. קבוצת איברי הסדרה היא הקבוצה [math]\displaystyle{ \{a_n\mid n\in\mathbb N\}\subseteq\mathbb R }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: סדרה אינה קבוצה: קבוצת איברי הסדרה והגבול
מצאו את קבוצת איברי הסדרה (הגדרה 2.1.12) של כל אחת מהסדרות הבאות, וקבעו האם הסדרה מתכנסת, כלומר האם יש לה גבול ממשי (הגדרה 2.1.8): (א) [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -1,1,-1,1,\dots }[/math]; (ב) [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1+(-1)^n}2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,\dots }[/math]; (ג) [math]\displaystyle{ c_1=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_n=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0,1,1,1,\dots }[/math]; (ד) [math]\displaystyle{ d_n=\frac1n }[/math]. האם קבוצת איברי הסדרה קובעת אם הסדרה מתכנסת, ולאיזה גבול?
(א) קבוצת האיברים היא [math]\displaystyle{ \{a_n\mid n\in\mathbb N\}=\{-1,1\} }[/math]: שני מספרים בלבד, אף שהסדרה אינסופית (כל ערך חוזר אינסוף פעמים). הסדרה אינה מתכנסת: לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math] (ההוכחה, לפי מסקנה 2.1.4 עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math], בדף הגדרת הגבול).
(ב) קבוצת האיברים היא [math]\displaystyle{ \{0,1\} }[/math], והסדרה אינה מתכנסת. יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]; נראה לפי מסקנה 2.1.4 כי [math]\displaystyle{ b_n\not\to L }[/math], עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac12 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]. אם [math]\displaystyle{ L\ge\frac12 }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ n=2K+1>K }[/math] (אי־זוגי); אזי [math]\displaystyle{ b_n=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |b_n-L|=L\ge\frac12 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ L<\frac12 }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ n=2K+2>K }[/math] (זוגי); אזי [math]\displaystyle{ b_n=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |b_n-L|=1-L>\frac12 }[/math]. בשני המקרים מצאנו [math]\displaystyle{ n>K }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ |b_n-L|\ge\varepsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b_n\not\to L }[/math].
(ג) קבוצת האיברים היא שוב [math]\displaystyle{ \{0,1\} }[/math], בדיוק כמו ב־(ב), אבל הפעם [math]\displaystyle{ c_n\to1 }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]; נבחר [math]\displaystyle{ K=1 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n>1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |c_n-1|=0<\varepsilon }[/math].
(ד) קבוצת האיברים היא [math]\displaystyle{ \left\{\frac1n\mid n\in\mathbb N\right\}=\left\{1,\frac12,\frac13,\dots\right\} }[/math], קבוצה אינסופית. [math]\displaystyle{ d_n\to0 }[/math] (דף הגדרת הגבול), אבל [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו איבר של הקבוצה, כי [math]\displaystyle{ \frac1n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]: הגבול לא חייב להיות איבר של הסדרה. בשפת פרק 1: לקבוצה יש מקסימום [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ \inf=0 }[/math] אינו מינימום.
מסקנה: ל־(ב) ול־(ג) אותה קבוצת איברים, ורק אחת מהן מתכנסת. הקבוצה "שוכחת" את הסדר ואת החזרות, ואילו הגבול תלוי בהם: הגבול הוא תכונה של הסדרה (פונקציה [math]\displaystyle{ \mathbb N\to\mathbb R }[/math], הגדרה 2.1.1), לא של קבוצת איבריה. לעומת זאת, חסימות של סדרה (הגדרה 2.1.13 בהמשך) תלויה רק בקבוצת האיברים, ולכן הגדרה 2.1.12 באה כאן, ממש לפני הגדרת החסימות.
מקור: הגדרה 2.1.12 וההערה להגדרה 2.1.1 ("סדרה אינה קבוצה: יש משמעות לסדר, ואיברים יכולים להופיע יותר מפעם אחת"); תמליל 08 (mMVBYUDmSA0) 01:32 (t=92s) ו־04:52–04:55 (t=292s): הסדרות "אפס, אחד, אפס, אחד" ו"אחד, אחד, אחד"; לוח הנדסה 18.3.21 (R6b-19: "סדרה נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה מלעיל ומלרע"); אי־ההתכנסות של [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] ושל [math]\displaystyle{ \frac{1+(-1)^n}2 }[/math]: מאגר 2.1-20 (◆) ו־2.1-21 (LM T3 ע'4–5, שם עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] / [math]\displaystyle{ \varepsilon=|L| }[/math]; כאן עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac12 }[/math]). התרגיל הורכב לדף הזה: במקורות אין תרגיל מפורש על קבוצת איברי הסדרה.
דוגמה 2: שתי סביבות זרות "החל ממקום מסוים"
הוכיחו או הפריכו: (א) קיימת סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שהחל ממקום מסוים כל איבריה נמצאים בסביבה [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math], וגם החל ממקום מסוים (אולי אחר) כל איבריה נמצאים בסביבה [math]\displaystyle{ (2,3) }[/math]. (ב) קיימת סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שהחל ממקום מסוים כל איבריה ב־[math]\displaystyle{ (1,2) }[/math], וגם החל ממקום מסוים כל איבריה ב־[math]\displaystyle{ (1.5,3) }[/math].
(א) הפרכה. נניח בשלילה שקיימת סדרה כזו: קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\in(1,2) }[/math], וקיים [math]\displaystyle{ K_2\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\in(2,3) }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ K=\max(K_1,K_2) }[/math] ונביט במקום אחד, [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_n<2 }[/math], וגם [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_n>2 }[/math]: סתירה. לכן אין סדרה כזו.
הנקודה המרכזית: צריך [math]\displaystyle{ n }[/math]אחד שנמצא אחרי שני המקומות, ולשם כך משמש ה־[math]\displaystyle{ \max }[/math]. בלי זה אין סתירה: לסדרה [math]\displaystyle{ 1.5,2.5,1.5,2.5,\dots }[/math] יש אינסוף איברים ב־[math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] ואינסוף איברים ב־[math]\displaystyle{ (2,3) }[/math], אבל באף אחת מהסביבות לא נמצאים כל האיברים החל ממקום מסוים.
זה בדיוק לב ההוכחה של משפט 2.1.11: [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] היא הסביבה של [math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (2,3) }[/math] היא הסביבה של [math]\displaystyle{ 2.5 }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], שתי סביבות זרות, ולכן סדרה אינה יכולה לשאוף גם ל־[math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] וגם ל־[math]\displaystyle{ 2.5 }[/math].
(ב) נכון. הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ a_n=1.7 }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ a_n\in(1,2)\cap(1.5,3)=(1.5,2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולכן היא מקיימת את שני התנאים (למשל עם [math]\displaystyle{ K=1 }[/math] בשניהם). ההבדל מ־(א): כאן הסביבות נחתכות, ולכן אין סתירה.
מקור: לוח ההרצאה 27.10.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-X06, ¶42–51): "האם ייתכן שכל איברי הסדרה החל משלב מסויים יהיה בסביבה (1,2) וגם אותו משפט נכון לגבי הסביבה (2,3)" (תשובות בעל פה; "רמזים ליחידות הגבול ולחסימות", סרטונים 10–11); מאגר 2.1-34 (◆, ק' 2, בוחן ✓). סעיף (ב), הסדרה [math]\displaystyle{ 1.5,2.5,\dots }[/math] והקישור למשפט נוספו כאן.
דוגמה 3: הוכחת המשפט לגבולות סופיים
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהיו [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to L_2 }[/math]. הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math].
הוכחה. נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ L_1\ne L_2 }[/math], ובלי הגבלת הכלליות [math]\displaystyle{ L_1<L_2 }[/math] (אחרת מחליפים את השמות). נבחר נקודה בין הגבולות, [math]\displaystyle{ x=\frac{L_1+L_2}2 }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ \varepsilon=x-L_1=L_2-x }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{L_2-L_1}2>0 }[/math].
הסביבה של [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] היא [math]\displaystyle{ (L_1-\varepsilon,x) }[/math]: היא "נגמרת ב־[math]\displaystyle{ x }[/math]". כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\to L_1 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L_1|<\varepsilon }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n<L_1+\varepsilon=x }[/math].
הסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] היא [math]\displaystyle{ (x,L_2+\varepsilon) }[/math]: היא "מתחילה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math]". כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\to L_2 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K_2\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L_2|<\varepsilon }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n>L_2-\varepsilon=x }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ n>\max(K_1,K_2) }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ n=\max(K_1,K_2)+1 }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n<x }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n>x }[/math]: סתירה.
לכן [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
דרך אחרת (באי־שוויון המשולש, בלי להניח [math]\displaystyle{ L_1<L_2 }[/math]): יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ K_1,K_2\in\mathbb N }[/math] המקומות המתאימים ל־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] משני הגבולות. עבור [math]\displaystyle{ n=\max(K_1,K_2)+1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |L_1-L_2|\le|L_1-a_n|+|a_n-L_2| }[/math] [math]\displaystyle{ <\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ |L_1-L_2|<2\varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. אילו [math]\displaystyle{ |L_1-L_2|>0 }[/math], היינו בוחרים [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{|L_1-L_2|}2 }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ |L_1-L_2|<|L_1-L_2| }[/math], סתירה. לכן [math]\displaystyle{ |L_1-L_2|=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math].
מקור: תמליל 10 (YE52OP_xPDA) 00:35–01:55 (t=35s): "נניח בשלילה שאחד הגבולות קטן יותר מהשני. ניקח נקודה כלשהי בין L1 ל-L2. נביט בסביבה של L1 שנגמרת ב-X ... ניקח את המקסימלי מבין N1 ו-N2 ... גדול יותר מ-X וגם קטן יותר מ-X"; proofat_text של 2.1.11; מאגר 2.1-33 (◆, ק' 2, מתאים לבוחן: "הוכחה, 5 דק'"); T1-32 ו"הצעות לתרגילי בית" ב-T1 ("הוכחת יחידות הגבול עם ε=|L1−L2|/2"). הדרך השנייה: תקציר ההרצאות של צבאן 2.3.9 (W6b: [math]\displaystyle{ |b-a|\le|b-a_n|+|a_n-a|\le2\varepsilon }[/math]) ורשימת ההוכחות של רגב (W1b, [math]\displaystyle{ \varepsilon<\frac{b-a}2 }[/math]).
דוגמה 4: המקרים האינסופיים: גבול ממשי ואינסוף, אינסוף ומינוס אינסוף
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. הוכיחו לפי ההגדרות: (א) אם [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] עבור [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\not\to\infty }[/math]. (ב) אם [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] עבור [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\not\to-\infty }[/math]. (ג) אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\not\to-\infty }[/math]. הסבירו מדוע יחד עם הדוגמה הקודמת מתקבל משפט 2.1.11 במלואו, לכל [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math].
(א) נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]. הנקודה המפרידה הפעם היא [math]\displaystyle{ M=|L|+1>0 }[/math]. מ־[math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math]: קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<1 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n<L+1\le|L|+1=M }[/math]. מ־[math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] (הגדרה 2.1.5) עם [math]\displaystyle{ M }[/math] זה: קיים [math]\displaystyle{ K_2\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>M }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n=\max(K_1,K_2)+1 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ a_n<M<a_n }[/math]: סתירה.
(ב) נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math]. לפי הגדרה 2.1.5, [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math] פירושו [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ -a_n\to-L }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math], אותו [math]\displaystyle{ K }[/math] שמתאים ל־[math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] מתאים גם כאן, כי [math]\displaystyle{ |-a_n-(-L)|=|a_n-L| }[/math]. כלומר הסדרה [math]\displaystyle{ b_n=-a_n }[/math] שואפת גם ל־[math]\displaystyle{ -L\in\mathbb R }[/math] וגם ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], בסתירה ל־(א).
(ג) נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ M=1 }[/math]: קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>1 }[/math], וקיים [math]\displaystyle{ K_2\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -a_n>1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n<-1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n=\max(K_1,K_2)+1 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ 1<a_n<-1 }[/math]: סתירה.
המשפט במלואו: יהיו [math]\displaystyle{ L_1\ne L_2 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. התפקידים של [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L_2 }[/math] סימטריים, ולכן יש שלושה מקרים: שניהם ממשיים (הדוגמה הקודמת); אחד ממשי והשני [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] (סעיפים א, ב); או שאחד הוא [math]\displaystyle{ \infty }[/math] והשני [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] (סעיף ג). בכל המקרים מתקבלת סתירה להנחה ש [math]\displaystyle{ a_n\to L_1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n\to L_2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math], כפי שנאמר בסרטון: "זה כולל גם את המקרה שהגבול הוא אינסופי". כשמבקשים להוכיח את משפט 2.1.11 כפי שנוסח, הוכחה לגבולות סופיים בלבד אינה מספיקה.
מקור: remark_text של 2.1.11 ("כולל המקרה שהגבול אינסופי. טעויות: ... להוכיח רק לגבול סופי"); תמליל 10 (YE52OP_xPDA) 00:29 (t=29s): "וזה כולל גם את המקרה שהגבול הוא אין סופי"; הגדרה 2.1.5 (שאיפה ל־∞ ול־−∞) וסימון 2.1.6; T1 §ד.1 ("פערים בהוכחות"): בסרטון "סביבה של L1 שנגמרת ב-x" משמשת גם למקרה האינסופי בלי פירוט, ו"בתשובה מלאה בבוחן צריך להתייחס במפורש למקרים האינסופיים". הניסוח של שלושת הסעיפים נכתב לדף הזה.
טעויות נפוצות
לשכוח את ה־[math]\displaystyle{ \max }[/math]: אחרי שמצאו [math]\displaystyle{ K_1 }[/math] (שאחריו [math]\displaystyle{ a_n<x }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ K_2 }[/math] (שאחריו [math]\displaystyle{ a_n>x }[/math]), הסתירה מתקבלת רק עבור [math]\displaystyle{ n }[/math]אחד שגדול משניהם, [math]\displaystyle{ n>\max(K_1,K_2) }[/math]; "לכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] ... ולכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] ... סתירה" בלי לבחור [math]\displaystyle{ n }[/math] כזה אינה הוכחה (בסרטון, 01:35: "ניקח את המקסימלי מבין N1 ו-N2").
להוכיח רק לגבולות סופיים: המשפט כולל [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] (בסרטון, 00:29), ו־[math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{|L_1-L_2|}2 }[/math] חסר משמעות כש [math]\displaystyle{ L_2=\infty }[/math] (אין פעולות חשבון על [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math], סימון 2.1.6); במקרים האינסופיים עובדים עם [math]\displaystyle{ M }[/math] מהגדרה 2.1.5, כמו בדוגמה 4.
לבלבל בין "אינסוף איברים בסביבה" ובין "כל האיברים החל ממקום מסוים": לסדרה [math]\displaystyle{ 1.5,2.5,1.5,2.5,\dots }[/math] יש אינסוף איברים ב־[math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] ואינסוף איברים ב־[math]\displaystyle{ (2,3) }[/math], ואין בכך סתירה למשפט, כי אף אחד מהמספרים [math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2.5 }[/math] אינו גבול שלה; המשפט אוסר שני גבולות, לא שני ערכים שהסדרה חוזרת אליהם (אלה "גבולות חלקיים", סעיף 2.10).
לחשוב שהגבול נקבע על ידי קבוצת איברי הסדרה: לסדרות [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,\dots }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0,1,1,1,\dots }[/math] אותה קבוצת איברים [math]\displaystyle{ \{0,1\} }[/math], אבל רק השנייה מתכנסת; הגבול הוא תכונה של הסדרה (הסדר חשוב) ולא של הקבוצה, והוא גם לא חייב להיות איבר של הקבוצה ([math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0\notin\left\{\frac1n\mid n\in\mathbb N\right\} }[/math]).
להסיק מיחידות הגבול שהגבול קיים: המשפט אומר שאין שני גבולות, לא שיש גבול. למשל עבור [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=-a_n }[/math]: אם[math]\displaystyle{ a_n\to L\in\mathbb R }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math] (משפט 2.1.15) וגם [math]\displaystyle{ a_{n+1}=-a_n\to-L }[/math] (כמו בדוגמה 4ב), ולכן לפי יחידות הגבול [math]\displaystyle{ L=-L }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ L=0 }[/math]. אבל זו הסדרה [math]\displaystyle{ 1,-1,1,-1,\dots }[/math], שאינה מתכנסת: החישוב מראה רק שאם יש גבול, הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (ראו ההערה למשפט 2.1.15).
לתרגול
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 1א: הוכיחו שכל סדרה מתכנסת חסומה (עם פתרון). זו השאלה היחידה מתת־הסעיף הזה במבחנים; היא עוסקת במשפט 2.1.14 ולא ביחידות הגבול עצמה
בוחן תשע"ו (תיכוניסטים) · שאלה 3א: אם [math]\displaystyle{ a_{2k}\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3j}\to M }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L=M }[/math], דרך תת־הסדרה המשותפת [math]\displaystyle{ a_{6k} }[/math] ויחידות הגבול (דורש תתי־סדרות, סעיף 2.10); פתרון
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות
שלילת גבול · הסעיף "שלילת גבול" (ל־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] אין גבול) והסעיף "התכנסות במובן הרחב" באותו דף; יחידות הגבול עצמה אינה מוכחת במערך
![הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{2\cos n}{n} }[/math] (נקודות) שואפת ל־[math]\displaystyle{ L_1=1 }[/math] (הקו הירוק). האם היא יכולה לשאוף גם ל־[math]\displaystyle{ L_2=2 }[/math]? בוחרים נקודה מפרידה [math]\displaystyle{ x=1.5 }[/math] בין שני המועמדים ורדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.5 }[/math]: הרצועה התכולה היא הסביבה של [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] שנגמרת ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], והרצועה המקווקוות היא הסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] שמתחילה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K_1=3 }[/math] האיברים (הנקודות המלאות) נמצאים ברצועה התכולה, כלומר מתחת ל־[math]\displaystyle{ x }[/math] (בסדרה כולה, לא רק בעשרים האיברים המצוירים: לכל [math]\displaystyle{ n\ge5 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-1|\le\frac2n<\frac12 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |a_4-1|\approx0.33 }[/math]). לכן לא קיים [math]\displaystyle{ K_2 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] האיבר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נמצא בסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אינו גבול של הסדרה. זה בדיוק רעיון ההוכחה: לכל [math]\displaystyle{ n>\max(K_1,K_2) }[/math] היה מתקבל [math]\displaystyle{ a_n<x }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n>x }[/math]. שימו לב ש [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] דווקא נמצא בסביבה של [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]: מספר סופי של איברים קרובים ל־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אינו הופך אותו לגבול.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-03.png)