בקצרה:כלל ה־e הוא הכלי לחישוב גבולות מהצורה "1 בחזקת אינסוף", שבהם הבסיס שואף ל־1 והמעריך שואף לאינסוף. בגבולות כאלה יש "משיכת חבל": הבסיס מושך את החזקה אל 1, והמעריך מושך אותה הרחק מ־1 (כלפי מעלה כשהבסיס גדול מ־1, וכלפי אפס כשהוא קטן מ־1), ולכן הגבול יכול להיות כל מספר חיובי, אפס או אינסוף, ואף ייתכן שאינו קיים. הכלל קובע מי מנצח: כשהבסיס שואף ל־1 והגבול במעריך קיים, [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n(a_n-1)} }[/math] ("המעריך כפול הבסיס פחות 1"), וכך שאלה על חזקה הופכת לגבול של מכפלה, שמחשבים באלגברה ובאריתמטיקה של גבולות. זהו אחד הכלים השימושיים ביותר בקורס, והוא מופיע במבחנים רבים; בלשונו של ארז בסרטון, אם יש כלל בחדו"א שכדאי לקחת לאי בודד, זה הכלל הזה.
▶ ההרצאה: שאיפה של סדרות ממשיות לe
▶ ההרצאה: חישוב אחד בחזקת אינסוף - כלל הe
ארבע סדרות מהצורה "1 בחזקת אינסוף": בכולן הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך [math]\displaystyle{ n }[/math] שואף לאינסוף, ובכל זאת לכל אחת מהן גבול אחר. כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math] מנבא את הגבול [math]\displaystyle{ e^c }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ c=\lim b_n(a_n-1) }[/math] הוא הגבול של המעריך כפול הבסיס פחות 1: עבור [math]\displaystyle{ \left(1+\frac2n\right)^n }[/math] המכפלה היא [math]\displaystyle{ n\cdot\frac2n=2 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e^2 }[/math]; עבור [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] היא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e }[/math] (ההגדרה של [math]\displaystyle{ e }[/math]); עבור [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n }[/math] היא [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e^0=1 }[/math]; ועבור [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n }[/math] היא [math]\displaystyle{ -1 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math]. הקווים המקווקווים הם הגבולות. הסדרה העליונה מתקרבת לגבולה לאט: ב־[math]\displaystyle{ n=30 }[/math] ערכה בערך [math]\displaystyle{ 6.93 }[/math], לעומת [math]\displaystyle{ e^2\approx7.39 }[/math] (וב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] שתי הסדרות האמצעיות שוות שתיהן [math]\displaystyle{ 2 }[/math]).
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. אזי
[math]\displaystyle{ \displaystyle (1+a_n)^{\frac1{a_n}}\to e . }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ e^{\infty}=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{-\infty}=0 }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הדוגמה הבסיסית: [math]\displaystyle{ \left(1+\frac cn\right)^n\to e^c }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \lim\left(1+\frac cn\right)^n }[/math]. בעזרת אותו כלל חשבו גם את [math]\displaystyle{ \lim\left(1+\frac1{n^2}\right)^n }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \lim\left(1+\frac1n\right)^{n^2} }[/math].
הבסיס [math]\displaystyle{ 1+\frac cn }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \frac cn\to0 }[/math]), ולכן מותר להשתמש בכלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math] (משפט 2.11.2).
נחשב את המעריך כפול הבסיס פחות 1: [math]\displaystyle{ n\cdot\left(1+\frac cn-1\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =n\cdot\frac cn=c }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. זו סדרה קבועה, ולכן גבולה [math]\displaystyle{ c }[/math].
לפי כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]: [math]\displaystyle{ \left(1+\frac cn\right)^n\to e^c }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ \left(1+\frac2n\right)^n\to e^2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n\to e^{-1} }[/math]; עבור [math]\displaystyle{ c=0 }[/math] כל האיברים שווים [math]\displaystyle{ 1=e^0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n }[/math]: הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ n\cdot\frac1{n^2}=\frac1n\to0 }[/math]. לכן הגבול הוא [math]\displaystyle{ e^0=1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{n^2} }[/math]: הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ n^2\cdot\frac1n=n\to\infty }[/math]. הגבול במעריך קיים במובן הרחב, ולכן לפי הכלל (עם [math]\displaystyle{ e^\infty=\infty }[/math]) הגבול הוא [math]\displaystyle{ \infty }[/math].
שלוש הסדרות הן מהצורה "1 בחזקת אינסוף", והגבולות שלהן [math]\displaystyle{ e^c }[/math], [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]: את הגבול קובע הגבול של המכפלה [math]\displaystyle{ b_n(a_n-1) }[/math], ולא הגבולות של הבסיס ושל המעריך לחוד.
מקור: תמליל 29 (5V4EmQIdE90) 01:47–02:42 (t=107s): "נתחיל מהדוגמה הבסיסית ביותר, 1 ועוד קבוע חלקי N בחזקת N"; 02:20 (t=140s): "1 ו-1 מצטמצמים, N ו-N מצטמצמים... הגבול של 1 ועוד A חלקי N ב-N הוא E בחזקת A" (בדף הקבוע נקרא c, כדי לא להתבלבל עם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שבמשפט); מאגר 2.11-01 (◆, ק' 1–3, בוחן ✓); שני הסעיפים הנוספים: מאגר 2.9-42 (◆, לוח 10.11.20 R1-X25, לוח 24.11.20 R2-E07) ודוגמה 3 בדף c2-15, שם הם נפתרים בלי הכלל (סנדביץ' ומשפט 2.6.1).
דוגמה 2: דוגמה מהסרטון: [math]\displaystyle{ \left(\frac{n^2-n}{n^2+1}\right)^n }[/math]
חשבו את [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{n^2-n}{n^2+1}\right)^n }[/math].
קודם כל הבסיס. נוציא גורם משמעותי [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] מהמונה ומהמכנה: [math]\displaystyle{ \frac{n^2-n}{n^2+1}=\frac{1-\frac1n}{1+\frac1{n^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{1-0}{1+0}=1 }[/math].
המעריך [math]\displaystyle{ n }[/math] שואף לאינסוף, כלומר זה המקרה הבעייתי "1 בחזקת אינסוף", והבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן מותר להשתמש בכלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]: הגבול הוא [math]\displaystyle{ e^{\lim n\left(\frac{n^2-n}{n^2+1}-1\right)} }[/math].
נחשב את הגבול במעריך. מכנה משותף: [math]\displaystyle{ n\left(\frac{n^2-n}{n^2+1}-1\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =n\cdot\frac{-n-1}{n^2+1}=-\frac{n^2+n}{n^2+1} }[/math].
נוציא גורם משמעותי [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] מהמונה ומהמכנה: [math]\displaystyle{ -\frac{n^2+n}{n^2+1}=-\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ \to-\frac{1+0}{1+0}=-1 }[/math].
לכן לפי כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]: [math]\displaystyle{ \left(\frac{n^2-n}{n^2+1}\right)^n\to e^{-1}=\frac1e }[/math].
בהתאם לכך הגבול קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] מלמטה ([math]\displaystyle{ n^2-n<n^2+1 }[/math]), והמעריך הגדל דוחף את החזקה כלפי מטה.
מקור: תמליל 29 (5V4EmQIdE90) 02:42–04:04 (t=162s): "קודם כל בואו נבדוק לאן שואף הבסיס, נוציא מהמונה גורם משמעותי N בריבוע... הידד מותר להשתמש בכלל ה-E"; 03:35 (t=215s): "נעשה מכנה משותף, נוציא מהמונה גורם משמעותי N ומהמכנה גורם משמעותי N בריבוע... הגבול הזה הוא מינוס 1"; 01:14 (t=74s): "אם AN שואפת לאחד מלמטה, אז חזקה ששואפת לאינסוף תדחוף אותנו לכיוון 0"; מאגר 2.11-02 (◆, V29 02:42 = T3-E05/E06, ק' 1–2, בוחן ✓ 4 דק').
דוגמה 3: שאלה ממבחן: מנה של שתי חזקות
(מועד א' קיץ תשפ"א, מדמ"ח, שאלה 1ג) חשבו את [math]\displaystyle{ \lim\frac{\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt{n^2-1}}}{\left(1+\frac2n\right)^{\sqrt{n^2+1}}} }[/math].
"נחשב את הגבולות של המונה והמכנה בנפרד, ונקווה לטוב" (מהפתרון של ארז): אם שניהם מתכנסים וגבול המכנה שונה מאפס, אריתמטיקה של גבולות תיתן את התשובה.
המונה. הבסיס [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math] נחשב את המעריך כפול הבסיס פחות 1: [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2-1}\cdot\frac1n=\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\sqrt{1-\frac1{n^2}}\to1 }[/math] (הכנסנו את [math]\displaystyle{ n=\sqrt{n^2} }[/math] לתוך השורש; את גבול השורש נותנת טענה 2.8.1(ד) עם המעריך הקבוע [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]). לכן המונה שואף ל־[math]\displaystyle{ e^1=e }[/math].
גבול המכנה הוא [math]\displaystyle{ e^2\ne0 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות (משפט 2.4.2(ג)) הגבול הוא [math]\displaystyle{ \frac e{e^2}=\frac1e }[/math].
שימו לב: אין כאן בסיס משותף או מעריך משותף, ולכן אי אפשר לאחד את שתי החזקות לחזקה אחת בעזרת חוקי החזקות; לכן מפעילים את הכלל על כל אחת מהן בנפרד.
מקור: מבחן מועד א' קיץ תשפ"א, 89-132 מדמ"ח (21Infi1CSSummerA.pdf, 30.9.21), שאלה 1ג; פתרון של ארז (21Infi1CSSummerASol.pdf עמ' 1: "נחשב את הגבולות של המונה והמכנה בנפרד, ונקווה לטוב", "{1 בחזקת אינסוף, כלל ה-e}"); מאגר 2.11-06 (◆, E2-Q1ג, בוחן ✓); טיוטת מבחנים לפי נושא, סעיף 2.11.
דוגמה 4: שאלת בוחן: סדרה כללית ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}\ne a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^{\frac1{a_{n+1}-a_n}} }[/math].
לפי הגדרת הגבול עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=2 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-2|<2 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math]. לכן הביטוי מוגדר לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], ומספר סופי של איברים אינו משפיע על הגבול.
הבסיס. לפי משפט 2.1.15 גם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to2 }[/math], ולפי אריתמטיקה של גבולות (גבול המכנה [math]\displaystyle{ 2\ne0 }[/math]) [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac22=1 }[/math]. לכן מותר להשתמש בכלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math].
המעריך כפול הבסיס פחות 1, עם מכנה משותף בתוך הסוגריים: [math]\displaystyle{ \frac1{a_{n+1}-a_n}\cdot\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{a_{n+1}-a_n}\cdot\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{a_n}\to\frac12 }[/math] (הצמצום מותר כי [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\ne0 }[/math]; הגבול לפי למה 2.4.1, כי [math]\displaystyle{ a_n\to2\ne0 }[/math]).
הגבול במעריך קיים, ולכן לפי כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]: [math]\displaystyle{ \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^{\frac1{a_{n+1}-a_n}} }[/math] [math]\displaystyle{ \to e^{\frac12}=\sqrt e }[/math].
שימו לב: המעריך עצמו אינו חייב לשאוף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. למשל עבור [math]\displaystyle{ a_n=2+\frac{(-1)^n}n }[/math] הסימן שלו מתחלף, ולכן הוא אינו שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] וגם לא ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]. הכלל אינו דורש דבר על המעריך לבדו: מספיק שהגבול של המעריך כפול הבסיס פחות 1 קיים.
מקור: בוחן אנליזה 1 למורים תשע"ו (T16Q ש3א, R7a; פתרון דרך [math]\displaystyle{ t_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\to0 }[/math]) ודף החזרה לבוחן 2016 של ארז (HazaraBohanInfi12016.pdf, ש4א, עם פתרון: "הטענה שראיתם בתרגיל בית"); מאגר 2.11-07 (◆, ק' 3, בוחן ✓); "לא דרשתי ש-BN שואפת לאינסוף... כי הכלל הזה נכון תמיד": תמליל 29 (5V4EmQIdE90) 00:36–00:47 (t=36s; בתמלול Whisper "לאמצע" במקום "לאינסוף").
טעויות נפוצות
"[math]\displaystyle{ 1^\infty=1 }[/math]": מחליפים את הבסיס בגבולו ומסיקים [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to1 }[/math], אבל הבסיס משתנה יחד עם המעריך והגבול הוא [math]\displaystyle{ e }[/math]; "1 בחזקת אינסוף" הוא מקרה בעייתי, ובדוגמה 1 אותה צורה נותנת [math]\displaystyle{ e^c }[/math], [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math].
להחליף תפקידים בין הבסיס למעריך: הכלל הוא "המעריך כפול הבסיס פחות 1", [math]\displaystyle{ e^{\lim b_n(a_n-1)} }[/math], ולא [math]\displaystyle{ e^{\lim a_n(b_n-1)} }[/math]; ב־[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] הנוסחה השגויה נותנת [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)(n-1)\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \infty }[/math] במקום [math]\displaystyle{ e }[/math].
להשתמש בכלל בלי לבדוק קודם שהבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: עבור הבסיס הקבוע [math]\displaystyle{ 2 }[/math] והמעריך הקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] הנוסחה הייתה נותנת [math]\displaystyle{ e^{1\cdot(2-1)}=e }[/math] במקום [math]\displaystyle{ 2^1=2 }[/math], ולכן בכל פתרון כותבים קודם "הבסיס שואף ל־1, ולכן מותר להשתמש בכלל" (כך בפתרונות של ארז).
לחשב את הגבול במעריך כ"[math]\displaystyle{ \infty\cdot0=0 }[/math]": כשהמעריך שואף לאינסוף והבסיס פחות 1 שואף לאפס זה מקרה בעייתי שצריך לפשט (מכנה משותף, הוצאת גורם משמעותי), ובדוגמה 2 הקיצור הזה היה נותן [math]\displaystyle{ e^0=1 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math].
לשכוח שהכלל דורש שהגבול [math]\displaystyle{ \lim b_n(a_n-1) }[/math] יהיה קיים (במובן הרחב): ב־[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{(-1)^n}n\right)^n }[/math] המכפלה היא [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math], שאין לה גבול, ואכן לסדרה אין גבול, כי במקומות הזוגיים היא שואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math] ובאי־זוגיים ל־[math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math].
לתרגול
מועד ב' תשע"ג (מתמטיקה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \left(\frac{n+2}{n+6}\right)^n }[/math], כמו דוגמה 2 (פתרון של ארז, עמ' 1). קושי 1–2.
מועד א' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 5: [math]\displaystyle{ \left(1+\sin\frac1n\right)^{n\cos\frac1n} }[/math]; דורש גם את הגבול [math]\displaystyle{ \frac{\sin x}x\to1 }[/math] מפרק 4 (פתרון). קושי 2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות.
מערך תרגול: המספר e · הגרסה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{a_n}\right)^{a_nb_n}\to e^L }[/math] של הכלל (כאשר [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]), והתרגיל [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n\to\frac1e }[/math].
![ארבע סדרות מהצורה "1 בחזקת אינסוף": בכולן הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך [math]\displaystyle{ n }[/math] שואף לאינסוף, ובכל זאת לכל אחת מהן גבול אחר. כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math] מנבא את הגבול [math]\displaystyle{ e^c }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ c=\lim b_n(a_n-1) }[/math] הוא הגבול של המעריך כפול הבסיס פחות 1: עבור [math]\displaystyle{ \left(1+\frac2n\right)^n }[/math] המכפלה היא [math]\displaystyle{ n\cdot\frac2n=2 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e^2 }[/math]; עבור [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] היא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e }[/math] (ההגדרה של [math]\displaystyle{ e }[/math]); עבור [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n }[/math] היא [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e^0=1 }[/math]; ועבור [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n }[/math] היא [math]\displaystyle{ -1 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math]. הקווים המקווקווים הם הגבולות. הסדרה העליונה מתקרבת לגבולה לאט: ב־[math]\displaystyle{ n=30 }[/math] ערכה בערך [math]\displaystyle{ 6.93 }[/math], לעומת [math]\displaystyle{ e^2\approx7.39 }[/math] (וב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] שתי הסדרות האמצעיות שוות שתיהן [math]\displaystyle{ 2 }[/math]).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-20.png)