בקצרה: סדרה חסומה היא סדרה שכל איבריה נמצאים בין שני מספרים קבועים, אותם שני מספרים לכל האיברים יחד. המשפט אומר שכל סדרה שמתכנסת לגבול סופי היא חסומה: החל ממקום מסוים כל האיברים קרובים לגבול, ולפני המקום הזה יש רק מספר סופי של איברים, ולמספר סופי של מספרים יש גדול ביותר וקטן ביותר. ההפך אינו נכון: הסדרה [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] חסומה ואינה מתכנסת. משתמשים במשפט בשני כיוונים: בתוך הוכחות הוא מאפשר להחליף סדרה מתכנסת בחסם קבוע (כך למשל מוכיחים את הגבול של מכפלה), ובניסוח השקול לו, סדרה שאינה חסומה אינה מתכנסת, הוא מראה מהר שלסדרה אין גבול סופי.
▶ ההרצאה: סדרה מתכנסת היא חסומה
איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=2+\frac{7\cos n}{n} }[/math] (נקודות), שמתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L=2 }[/math] (הקו הירוק הדק). הרצועה הכחולה היא הסביבה [math]\displaystyle{ (L-1,L+1) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] כמו בהוכחה, ולכל [math]\displaystyle{ n>K=6 }[/math] האיברים (הנקודות המלאות) נמצאים בתוכה, בסדרה כולה ולא רק בציור: לכל [math]\displaystyle{ n\ge7 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-2|=\frac{7|\cos n|}{n}<1 }[/math]. האיברים [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_6 }[/math] (הנקודות החלולות) הם מספר סופי של איברים, וכולם פרט ל־[math]\displaystyle{ a_5 }[/math] נמצאים מחוץ לרצועה. לכן החסם מלעיל מההוכחה הוא [math]\displaystyle{ M=\max\{L+1,a_1,\dots,a_K\} }[/math], וכאן הוא [math]\displaystyle{ a_1\approx5.78 }[/math], והחסם מלרע הוא [math]\displaystyle{ m=\min\{L-1,a_1,\dots,a_K\} }[/math], וכאן הוא [math]\displaystyle{ a_3\approx-0.31 }[/math] (שני הקווים הירוקים העבים); כל איברי הסדרה נמצאים ביניהם. החסמים מתקבלים על ידי איברים של הסדרה עצמה, ולכן בהוכחה כותבים [math]\displaystyle{ m\le a_n\le M }[/math] עם אי־שוויון חלש.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: חסומה פירושו [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. (א) הוכיחו: [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ C\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. (ב) נתון ש [math]\displaystyle{ -3<a_n<2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. מצאו [math]\displaystyle{ C }[/math] כזה. האם [math]\displaystyle{ C=2 }[/math] מתאים?
(א), כיוון ראשון. נניח שקיים [math]\displaystyle{ C }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ -C\le a_n\le C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ C }[/math] חסם מלעיל ו־[math]\displaystyle{ -C }[/math] חסם מלרע של קבוצת איברי הסדרה. לכן הקבוצה חסומה, כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.
כיוון שני. נניח ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה. אזי לקבוצת איבריה יש חסם מלעיל [math]\displaystyle{ M }[/math] וחסם מלרע [math]\displaystyle{ m }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ m\le a_n\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ C=\max\{|m|,|M|\} }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ M\le|M|\le C }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\le C }[/math]; וכיוון ש [math]\displaystyle{ -C\le-|m|\le m }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge-C }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ -C\le a_n\le C }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math].
(ב) כאן [math]\displaystyle{ m=-3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ M=2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ C=\max\{3,2\}=3 }[/math] מתאים: לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n<2<3 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n>-3 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_n|<3 }[/math]. המרחק של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מראשית הציר חסום על ידי [math]\displaystyle{ 3 }[/math] "דווקא" (בסרטון, 1:57): הכי רחוק שהיא יכולה להתרחק מהראשית הוא בכיוון [math]\displaystyle{ -3 }[/math].
[math]\displaystyle{ C=2 }[/math] אינו בהכרח מתאים: הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ a_n=-2.5 }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ -3<a_n<2 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ |a_n|=2.5>2 }[/math].
מקור: תמליל 11 (CZnYbF1Lm7k) 01:00–02:37 (t=60s): "אם AN חסומה בין מינוס 3 לבין 2 ... הוא חסום על ידי 3 דווקא" (01:45–01:57), הכלל הכללי עם המקסימום של |m| ו־|M| (02:16–02:32) ו"אני משאיר לכם כתרגיל לוודא שזה באמת נכון תמיד" (02:35); לוח 27.10.20, מדמ"ח תשפ"א (R1-X06: −3<a_n<2 ⇒ |a_n|<3); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 17 (G1-31: "|a_n|<M ⟺ −M<a_n<M"); מאגר 2.1-31 (◆, ק' 1, בוחן ✓)
דוגמה 2: הוכחת המשפט (שאלת מבחן)
(מועד א' תשע"ב, מדמ"ח, שאלה 1א) הוכיחו כי כל סדרה מתכנסת חסומה.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. לפי הגדרת הגבול עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] (כל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] היה מתאים; בסרטון, 4:29: "באמת לא משנה איזו בחרנו") קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ L-1<a_n<L+1 }[/math].
על האיברים [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_K }[/math] ההגדרה אינה אומרת דבר, והם יכולים להיות רחוקים מ־[math]\displaystyle{ L }[/math]. אבל יש מהם רק מספר סופי, ולקבוצה סופית יש איבר גדול ביותר ואיבר קטן ביותר. נגדיר [math]\displaystyle{ M=\max\{L+1,a_1,\dots,a_K\} }[/math], [math]\displaystyle{ m=\min\{L-1,a_1,\dots,a_K\} }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. אם [math]\displaystyle{ n\le K }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הוא אחד המספרים שמהם נלקחו המקסימום והמינימום, ולכן [math]\displaystyle{ m\le a_n\le M }[/math].
אם [math]\displaystyle{ n>K }[/math], אזי [math]\displaystyle{ m\le L-1<a_n }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n<L+1\le M }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ m\le a_n\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל ו־[math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלרע של קבוצת איברי הסדרה, ו־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.
שימו לב לאי־השוויון החלש: אם למשל [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] הוא הגדול מבין [math]\displaystyle{ L+1,a_1,\dots,a_K }[/math] (כמו באיור), אזי [math]\displaystyle{ a_1=M }[/math], ולא [math]\displaystyle{ a_1<M }[/math].
מקור: תמליל 11 (CZnYbF1Lm7k) 03:44–07:31 (t=224s): ההוכחה בסרטון; ε=1 ב־04:25–04:35 ("וזה באמת לא משנה איזו בחרנו"), "כמעט סיימנו, אבל מה עם כל האיברים עד למקום הזה?" (04:47), "מתוך קבוצה סופית של איברים יש אחד שהוא הגדול ביותר" (05:27), "זה תלוי" (06:11); מבחן מדמ"ח תשע"ב מועד א' שאלה 1א, פתרון בוויקי (הדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח"; שם החסמים כתובים באי־שוויון חזק, וכאן תוקן לחלש); ש"ב תשע"א HW-A 3.4 (G5); מאגר 2.1-30 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓ 4 דק')
דוגמה 3: נכון או לא נכון? חסימות והתכנסות
קבעו אם כל טענה נכונה, ונמקו (הוכחה או דוגמה נגדית). בכל הסעיפים [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה ממשית. (א) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה, אזי היא מתכנסת. (ב) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה, אזי היא אינה מתכנסת. (ג) אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה. (ד) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה מלעיל, אזי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math].
(א) לא נכון.[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] חסומה, כי [math]\displaystyle{ |a_n|=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. נראה שאינה מתכנסת. יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. לא ייתכן ש [math]\displaystyle{ |1-L|<1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |-1-L|<1 }[/math], כי הראשון נותן [math]\displaystyle{ L>0 }[/math] והשני [math]\displaystyle{ L<0 }[/math]. לכן עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math], לכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] יש [math]\displaystyle{ n>K }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge1 }[/math]: [math]\displaystyle{ n=2K+2 }[/math] (ואז [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math]) אם [math]\displaystyle{ |1-L|\ge1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ n=2K+1 }[/math] (ואז [math]\displaystyle{ a_n=-1 }[/math]) אחרת. לפי מסקנה 2.1.4 [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math], וכיוון ש [math]\displaystyle{ L }[/math] היה כלשהו, [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מתכנסת.
(ב) נכון. זה הניסוח השקול של המשפט: אילו [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הייתה מתכנסת, לפי המשפט היא הייתה חסומה.
(ג) נכון. נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה. לפי דוגמה 1 קיים [math]\displaystyle{ C }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ C\ge|a_1|\ge0 }[/math]. לפי הגדרת [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] עם [math]\displaystyle{ M=C+1>0 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>C+1 }[/math]. אבל אז [math]\displaystyle{ |a_{K+1}|\ge a_{K+1}>C+1 }[/math], בסתירה ל־[math]\displaystyle{ |a_{K+1}|\le C }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה; בפרט אי אפשר להרחיב את המשפט לגבול אינסופי.
(ד) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי ו־[math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי: [math]\displaystyle{ 0,2,0,4,0,6,\dots }[/math]. היא אינה חסומה מלעיל: יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]; לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ k>M }[/math], ואז [math]\displaystyle{ a_{2k}=2k>M }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ a_n\not\to\infty }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ M=1 }[/math], לכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] המקום [math]\displaystyle{ n=2K+1>K }[/math] אי־זוגי, ו־[math]\displaystyle{ a_n=0\le1 }[/math].
מקור: (א) תמליל 11 (CZnYbF1Lm7k) 02:47–03:36 (t=167s): "האם לכל סדרה חסומה חייב להיות גבול סופי? התשובה היא לא", ו"לכל גבול שלא ננסה אפשר לקחת סביבה שלו שלא מכילה את אחד או לא מכילה את מינוס אחד" (03:07–03:16); remark_text של 2.1.14; (ג) מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 25 (G1-50/E28, "הערה קטנה (תרגיל): נניח a_n→∞. צ"ל: ש-a_n אינה חסומה"); (ד) remark_text של 2.1.5 ("'לא חסומה' אינו גורר 'שואפת לאינסוף'"), ש"ב תשע"א HW-A 4.7a (G5, בוחן ר1), מבחן צבאן תשפ"ד מועד ב' חלק II סעיף ד (T84B, 0,1,0,2,…); מאגר 2.1-32, 2.1-44 (◆, ק' 1, בוחן ✓)
דוגמה 4: המשפט ככלי: זוגיים עולים, אי־זוגיים יורדים (בוחן)
(בוחן 88-132 תשפ"ג, שאלה 3א; סעיף (ב) נוסף) תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שהאיברים במקומות הזוגיים עולים והאיברים במקומות האי־זוגיים יורדים, כלומר לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{2n}\le a_{2n+2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n+1}\le a_{2n-1} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ d_n=a_{2n}-a_{2n-1} }[/math]. (א) הוכיחו: אם [math]\displaystyle{ d_n }[/math] מתכנסת לגבול סופי, אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה. (ב) הוכיחו או הפריכו: גם בלי ההנחה ש [math]\displaystyle{ d_n }[/math] מתכנסת, [math]\displaystyle{ a_n }[/math] בהכרח חסומה.
(א) נניח ש [math]\displaystyle{ d_n }[/math] מתכנסת לגבול סופי. לפי המשפט [math]\displaystyle{ d_n }[/math] חסומה, ולפי דוגמה 1 קיים [math]\displaystyle{ C\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |d_n|\le C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -C\le d_n\le C }[/math]; בפרט [math]\displaystyle{ C\ge|d_1|\ge0 }[/math].
מההנחה [math]\displaystyle{ a_2\le a_4 }[/math], [math]\displaystyle{ a_4\le a_6 }[/math] וכן הלאה: כל איבר במקום זוגי גדול או שווה לאיבר במקום הזוגי שלפניו, ולכן גם ל־[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]: [math]\displaystyle{ a_2\le a_{2n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. (באופן פורמלי זו אינדוקציה על [math]\displaystyle{ n }[/math], משפט 2.5.1 בהמשך: עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] יש שוויון, ואם [math]\displaystyle{ a_2\le a_{2n} }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_2\le a_{2n+2} }[/math], כי [math]\displaystyle{ a_{2n}\le a_{2n+2} }[/math].) באותו אופן כל איבר במקום אי־זוגי קטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]: [math]\displaystyle{ a_{2n-1}\le a_1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. משני הצעדים הקודמים: [math]\displaystyle{ a_{2n}=a_{2n-1}+d_n\le a_1+C }[/math], [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=a_{2n}-d_n\ge a_2-C }[/math].
נגדיר [math]\displaystyle{ m=a_2-C }[/math] ו־[math]\displaystyle{ M=a_1+C }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ C\ge0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ m\le a_2\le a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n}\le M }[/math], וגם [math]\displaystyle{ m\le a_{2n-1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1}\le a_1\le M }[/math].
כל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] הוא זוגי או אי־זוגי, כלומר [math]\displaystyle{ k=2n }[/math] או [math]\displaystyle{ k=2n-1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כלשהו. לכן [math]\displaystyle{ m\le a_k\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.
(ב) לא נכון. תהי [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^nn }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -1,2,-3,4,\dots }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_{2n}=2n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1}=-(2n-1) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2n}<a_{2n+2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n+1}<a_{2n-1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], וההנחות מתקיימות. אבל [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה מלעיל: יהי [math]\displaystyle{ B\in\mathbb R }[/math]; לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ k>B }[/math], ואז [math]\displaystyle{ a_{2k}=2k>k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2k}>B }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ B }[/math] אינו חסם מלעיל. בפרט [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה.
כאן [math]\displaystyle{ d_n=2n+(2n-1)=4n-1 }[/math], ועבור אותו [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ d_k=4k-1>k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ d_k>B }[/math]: גם [math]\displaystyle{ d_n }[/math] אינה חסומה, ולפי הניסוח השקול של המשפט (דוגמה 3ב) היא אינה מתכנסת. כך חייב להיות: אילו [math]\displaystyle{ d_n }[/math] הייתה מתכנסת, לפי (א) [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הייתה חסומה.
ב־(א) המשפט הוא הצעד המרכזי: הוא הופך את הנתון "[math]\displaystyle{ d_n }[/math] מתכנסת" לחסם קבוע [math]\displaystyle{ C }[/math]. ב־(ב) הדוגמה הנגדית אינה צריכה את המשפט, אבל הניסוח השקול שלו מראה מיד ש [math]\displaystyle{ d_n }[/math] אינה מתכנסת, ולכן הדוגמה אינה סותרת את (א).
מקור: בוחן כיתה 88-132 תשפ"ג (13.12.22), שאלה 3א: ארכיון/תשפג/סמסטר א/אינפי 1/בוחן.docx ("תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שתת הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] מונוטונית עולה, ואילו [math]\displaystyle{ a_{2n-1} }[/math] מונוטונית יורדת"), ופתרון ארז בקובץ פתרון בוחן.docx באותה תיקייה ("כיוון שהסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n}-a_{2n-1} }[/math] מתכנסת, היא חסומה"); W4c (C0 ש3). הבוחן אינו בוויקי. בפתרון של ארז ההמשך הוא בשלילה, דרך משפט 2.9.2(ב) (סדרה מונוטונית שאינה חסומה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]); כאן ההמשך ישיר, והמונחים "תת־סדרה" ו"מונוטונית" הוחלפו בתנאים המפורשים, כדי להשתמש רק בחומר של סעיף 2.1. סעיף ב' בבוחן (אם [math]\displaystyle{ a_{2n}-a_{2n-1}\to0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת) הושמט, כי הוא דורש את משפט 2.9.2 ואת טענה 2.10.11; סעיף (ב) כאן והדוגמה [math]\displaystyle{ (-1)^nn }[/math] נוספו (הסדרה הזו מופיעה כסדרה לא חסומה במאגר 2.1-32 ו־2.1-44).
טעויות נפוצות
"כל איבר הוא מספר סופי, ולכן הסדרה חסומה" שגוי: חסומה פירושו שקיים מספר [math]\displaystyle{ C }[/math]אחד כך שלכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math]; הטענה "לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] קיים [math]\displaystyle{ C }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math]" (סדר הכמתים ההפוך) נכונה לכל סדרה, גם ל־[math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] (בסרטון, 0:08: "זה טיפה מבלבל").
ההפך של המשפט אינו נכון: [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] חסומה ואינה מתכנסת (בסרטון, 2:47), ולכן מ"חסומה" לבדה אי אפשר להסיק התכנסות (בהמשך נראה שחסומה ומונוטונית כן מתכנסת, משפט 2.9.2).
בהוכחה לשכוח את האיברים [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_K }[/math], או לקחת כחסם מלעיל רק את [math]\displaystyle{ L+1 }[/math] (או רק את [math]\displaystyle{ \max\{a_1,\dots,a_K\} }[/math]): מי מהם גדול יותר תלוי בסדרה (בסרטון, 6:11: "זה תלוי"), ולכן החסם הוא [math]\displaystyle{ \max\{L+1,a_1,\dots,a_K\} }[/math]; באיור [math]\displaystyle{ a_1>L+1 }[/math].
לכתוב את החסמים באי־שוויון חזק, [math]\displaystyle{ m<a_n<M }[/math]: אם המקסימום מתקבל באחד האיברים [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_K }[/math], האיבר הזה שווה ל־[math]\displaystyle{ M }[/math] (באיור [math]\displaystyle{ a_1=M }[/math]), ולכן הנכון הוא [math]\displaystyle{ m\le a_n\le M }[/math].
המשפט עוסק בגבול סופי בלבד: [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] ואינה חסומה. ובכיוון השני, סדרה שאינה חסומה אינה מתכנסת, אבל לא בהכרח שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] או ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]: [math]\displaystyle{ 0,2,0,4,0,6,\dots }[/math].
לתרגול
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 1א: הוכיחו שכל סדרה מתכנסת חסומה (עם פתרון; דוגמה 2 בדף)
בוחן 1 תשע"ה · שאלה 1א: חסימות של [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] מתוך [math]\displaystyle{ a_n^2+b_n^2\to L }[/math]; השאלה פתורה בדף "שאיפה לאפס", כי בסוף משתמשים באפסה כפול חסומה (פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות
אריתמטיקה של גבולות · "תרגיל חשוב מאד": אפסה כפול חסומה, עם הגדרת סדרה חסומה דרך [math]\displaystyle{ |b_n|<M }[/math] והוכחה מלאה
סדרות מונוטוניות · ההפך החלקי של המשפט: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת, עם תרגילים פתורים
![איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=2+\frac{7\cos n}{n} }[/math] (נקודות), שמתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L=2 }[/math] (הקו הירוק הדק). הרצועה הכחולה היא הסביבה [math]\displaystyle{ (L-1,L+1) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] כמו בהוכחה, ולכל [math]\displaystyle{ n>K=6 }[/math] האיברים (הנקודות המלאות) נמצאים בתוכה, בסדרה כולה ולא רק בציור: לכל [math]\displaystyle{ n\ge7 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-2|=\frac{7|\cos n|}{n}<1 }[/math]. האיברים [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_6 }[/math] (הנקודות החלולות) הם מספר סופי של איברים, וכולם פרט ל־[math]\displaystyle{ a_5 }[/math] נמצאים מחוץ לרצועה. לכן החסם מלעיל מההוכחה הוא [math]\displaystyle{ M=\max\{L+1,a_1,\dots,a_K\} }[/math], וכאן הוא [math]\displaystyle{ a_1\approx5.78 }[/math], והחסם מלרע הוא [math]\displaystyle{ m=\min\{L-1,a_1,\dots,a_K\} }[/math], וכאן הוא [math]\displaystyle{ a_3\approx-0.31 }[/math] (שני הקווים הירוקים העבים); כל איברי הסדרה נמצאים ביניהם. החסמים מתקבלים על ידי איברים של הסדרה עצמה, ולכן בהוכחה כותבים [math]\displaystyle{ m\le a_n\le M }[/math] עם אי־שוויון חלש.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-04.png)