בקצרה:סדרת קושי היא סדרה שאיבריה מתקרבים זה לזה: לכל רמת דיוק שנבחר יש מקום בסדרה שאחריו המרחק בין כל שני איברים קטן ממנה, בין אם הם סמוכים ובין אם הם רחוקים זה מזה בסדרה. בניגוד להגדרת הגבול, הגבול אינו מופיע בתנאי הזה כלל, ולכן אפשר לבדוק אותו בלי לנחש מראש לאן הסדרה שואפת. קריטריון קושי אומר שבממשיים זה בדיוק התנאי להתכנסות לגבול סופי, ולכן הוא מאפשר להוכיח שסדרה מתכנסת גם כשאין דרך למצוא את הגבול שלה וגם כשהיא אינה מונוטונית. לא מספיק שאיברים סמוכים יתקרבו זה לזה: בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt n }[/math] ההפרש בין איברים סמוכים שואף לאפס, ובכל זאת היא שואפת לאינסוף.
▶ ההרצאה: סדרות קושי
משמאל: סדרת קושי. הסדרה מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] וצעדים שגודלם [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|=0.8^n }[/math] ובסימנים לא סדירים, ולכן היא מקיימת את התנאי של דוגמה 4 עם [math]\displaystyle{ q=0.8 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.4 }[/math] והמקום [math]\displaystyle{ K=6 }[/math], כל האיברים שאחרי [math]\displaystyle{ K }[/math] (הנקודות המלאות) נמצאים בתוך הרצועה הכחולה, שגובהה [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], ולא על שפתה, ולכן המרחק בין כל שניים מהם קטן מ־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]; החץ הירוק מראה את הזוג הרחוק ביותר ביניהם, [math]\displaystyle{ a_7 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{11} }[/math]. המקום [math]\displaystyle{ K=5 }[/math] אינו מספיק, כי [math]\displaystyle{ |a_6-a_{11}|\approx0.55 }[/math]. הגבול של הסדרה אינו מסומן, כי התנאי של קושי אינו מזכיר אותו. מימין: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt n }[/math]. ההפרשים בין איברים סמוכים שואפים לאפס, אבל עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ K }[/math], הזוג [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ m=4n }[/math] רחוק: [math]\displaystyle{ a_{4n}-a_n=\sqrt n\ge1 }[/math] (החץ האדום, עבור [math]\displaystyle{ K=5 }[/math]: [math]\displaystyle{ a_{24}-a_6=\sqrt6 }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math] אינה סדרת קושי.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אומרים ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מקיימת את קריטריון קושי, או ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרת קושי, אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל זוג מקומות [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|<\varepsilon }[/math]:
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, כלומר קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרת קושי.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הפרשים סמוכים ששואפים לאפס אינם מספיקים
הוכיחו או הפריכו (שתי שאלות ממבחנים): (א) תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<a_{n+1}-a_n<\varepsilon }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת. (ב) תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית מונוטונית עולה כך ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ונניח שלכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(a_{n+k}-a_n)=0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת לגבול סופי. (ג) הוכיחו לפי שלילת ההגדרה שהסדרה שמצאתם אינה סדרת קושי.
(א) לא נכון. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt n }[/math] מהסרטון. נכפול ונחלק בצמוד: [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n} }[/math].
המכנה חיובי ושואף לאינסוף (אינסוף ועוד אינסוף), ולכן [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\to0 }[/math] (אחד חלקי סדרה ששואפת לאינסוף). כלומר, לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<a_{n+1}-a_n<\varepsilon }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \sqrt n\to\infty }[/math] (לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ n>M^2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt n>M }[/math]), ולכן הסדרה אינה מתכנסת לגבול סופי.
(ב) לא נכון, עם אותה סדרה: [math]\displaystyle{ \sqrt n>0 }[/math] והסדרה עולה, ולכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] קבוע [math]\displaystyle{ \sqrt{n+k}-\sqrt n }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{k}{\sqrt{n+k}+\sqrt n}\to0 }[/math], כי המונה קבוע והמכנה שואף לאינסוף. אבל, כאמור, [math]\displaystyle{ \sqrt n\to\infty }[/math].
(ג) נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ m=4n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=\sqrt{4n}-\sqrt n }[/math] [math]\displaystyle{ =\sqrt n\ge1 }[/math]. מצאנו [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|\ge\varepsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math] אינה סדרת קושי (כפי שמחייב קריטריון קושי, שהרי היא אינה מתכנסת).
הלקח: ב־(ב) ההפרש שואף לאפס לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] קבוע, אבל המקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שמתאים ל־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] תלוי ב־[math]\displaystyle{ k }[/math]: אילו [math]\displaystyle{ K }[/math] אחד היה מתאים לכל [math]\displaystyle{ k }[/math], הסדרה הייתה סדרת קושי, ו־(ג) מראה שאינה. בקריטריון קושי [math]\displaystyle{ K }[/math] אחד צריך להתאים לכל הזוגות [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math], גם כשהמרחק [math]\displaystyle{ m-n }[/math] גדל עם [math]\displaystyle{ n }[/math], כמו [math]\displaystyle{ m=4n }[/math].
מקור: תמליל 30 (S56cCgc9U38) 01:08–03:14 (https://www.youtube.com/watch?v=S56cCgc9U38&t=68s): "האם לדעתכם זה מספיק לנו כתנאי... לצערנו התשובה היא לא בהכרח", הדוגמה שורש n והכפל בצמוד (02:16), "1 חלקי סדרה ששואפת לאינסוף" (02:59); 04:00–04:31 (t=240s): "לא רק המרחק בין AN ועוד אחד ל-AN... אלא... AK ועוד אחד ל-AK ועוד מיליארד"; דף הקורס (rev 90835), סעיף ===קריטריון קושי לסדרות===, הדוגמה שורש n. (א) מבחן דמה נוסף תשע"ב (מתמטיקה), שאלה 2א, בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2" (כל הגרסאות של ארז, 16.4.2012), פתרון tashabfaketestBsol.pdf; מאגר 2.13-01 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). (ב) מבחן לדוגמה תש"ף מדמ"ח (ארז ואלעד עטייא, 19CSInfi1dumbtest.pdf), שאלה 5א, פתרון 19CSInfi1dumbtestSol.pdf (לפי W4b E8-Q5א; שם ההפרכה היא ln n, כאן שורש n, כמו במאגר); מאגר 2.13-02 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓; לוח 6.12.20 R2-E25, תרגול 6 של לואי ומני עמ' 5). (ג) שלילת ההגדרה לפי remark_text של 2.13.1.
דוגמה 2: סדרה מתכנסת עם מספר סופי של ערכים
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית מתכנסת, כך שקבוצת איברי הסדרה [math]\displaystyle{ \{a_n:n\in\mathbb N\} }[/math] סופית. הוכיחו שהסדרה קבועה החל ממקום מסוים, כלומר קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n=a_{K+1} }[/math].
הרעיון: בין מספר סופי של ערכים שונים יש מרחק מינימלי חיובי, ולכן שני איברים שקרובים זה לזה יותר ממנו חייבים להיות שווים. נשתמש בכיוון "מתכנסת גוררת קושי" של קריטריון קושי.
אם לקבוצה יש איבר יחיד, הסדרה קבועה ואין מה להוכיח. אחרת, נסמן את איבריה השונים [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_r }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ r\ge2 }[/math], ונגדיר [math]\displaystyle{ \delta=\min\{|x_i-x_j|:i\ne j\} }[/math]. זה מינימום של מספר סופי של מספרים חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, ולכן לפי קריטריון קושי היא סדרת קושי. עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\delta }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|<\delta }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ m>K+1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_m-a_{K+1}|<\delta }[/math]. שני המספרים [math]\displaystyle{ a_m }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{K+1} }[/math] שייכים לקבוצה, ושני איברים שונים של הקבוצה רחוקים זה מזה לפחות [math]\displaystyle{ \delta }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_m=a_{K+1} }[/math].
מכאן [math]\displaystyle{ a_n=a_{K+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math] זה ברור).
בלי ההנחה שהסדרה מתכנסת הטענה אינה נכונה: לסדרה [math]\displaystyle{ 1,2,3,1,2,3,\dots }[/math] יש שלושה ערכים בלבד, והיא אינה קבועה החל משום מקום.
מקור: תשובות ה-Q&A של ארז בדף הקורס תש"ע (לפי W6c: "סדרה מתכנסת עם קבוצת ערכים סופית היא קבועה החל ממקום מסוים (בעזרת ε=½min D וקושי)"; כאן ε=δ, שגם הוא מתאים); מבחני הפקולטה G4-COH09A-1, G4-Z09A-1 (לפי המאגר); מאגר 2.13-14 (◆, ק' 2, בוחן ✓). הכיוון "מתכנסת גוררת קושי": תמליל 30 (S56cCgc9U38) 04:57–07:20 (https://www.youtube.com/watch?v=S56cCgc9U38&t=297s).
דוגמה 3: הדוגמה מהסרטון: [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|<\frac1{2^n} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|<\frac1{2^n} }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת לגבול סופי.
אנחנו לא יודעים שהסדרה מונוטונית, לא יודעים שהיא חסומה ולא יודעים מה הגבול שלה. ההפרשים בין איברים סמוכים שואפים לאפס, אבל דוגמה 1 מראה שזה לא מספיק. לכן נוכיח שזו סדרת קושי, ואז קריטריון קושי יבטיח שהיא מתכנסת.
יהיו [math]\displaystyle{ m>n }[/math] מספרים טבעיים. נחסיר ונוסיף את כל איברי הביניים (סכום טלסקופי): [math]\displaystyle{ a_m-a_n=(a_m-a_{m-1}) }[/math] [math]\displaystyle{ +(a_{m-1}-a_{m-2})+\cdots+(a_{n+1}-a_n) }[/math].
לפי אי־שוויון המשולש והנתון (יש כאן [math]\displaystyle{ m-n\ge1 }[/math] מחוברים, וכל אחד מהם קטן ממש מהחסם שלו): [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|\le|a_m-a_{m-1}|+\cdots }[/math] [math]\displaystyle{ +|a_{n+1}-a_n| }[/math] [math]\displaystyle{ <\frac1{2^n}+\frac1{2^{n+1}} }[/math] [math]\displaystyle{ +\cdots+\frac1{2^{m-1}} }[/math].
זה סכום של [math]\displaystyle{ m-n }[/math] איברים של סדרה הנדסית עם איבר ראשון [math]\displaystyle{ \frac1{2^n} }[/math] ומנה [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], ולפי הנוסחה לסכום של סדרה הנדסית הוא [math]\displaystyle{ \frac1{2^n}\cdot\frac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{2^{n-1}}\left(1-\frac1{2^{m-n}}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ <\frac1{2^{n-1}} }[/math].
הרווח הגדול: החסם [math]\displaystyle{ \frac1{2^{n-1}} }[/math] אינו תלוי ב־[math]\displaystyle{ m }[/math] כלל, ולכן הוא מתאים לכל הזוגות בבת אחת.
יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<\frac12<1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{2^{n-1}}=2\left(\frac12\right)^n\to0 }[/math], ולכן קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{2^{n-1}}<\varepsilon }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|<\frac1{2^{n-1}}<\varepsilon }[/math].
הוכחנו ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרת קושי, ולכן לפי קריטריון קושי היא מתכנסת לגבול סופי. שימו לב: הוכחנו שהגבול קיים בלי לדעת מהו; הוא תלוי באיברי הסדרה, ולא נקבע על ידי הנתון.
מקור: תמליל 30 (S56cCgc9U38) 11:26–15:32 (https://www.youtube.com/watch?v=S56cCgc9U38&t=686s): "אנחנו לא יודעים ש-A-N מונוטונית, אנחנו לא יודעים ש-A-N חסומה" (11:47–11:52), הסכום הטלסקופי (12:30–13:07), אי־שוויון המשולש (13:07), הסכום ההנדסי והחסם "1 חלקי 2 ב-N-1" (13:41–14:27), "נפטרנו לחלוטין מ-M" (14:33); דף הקורס (rev 90835), סעיף ===קריטריון קושי לסדרות===, "תרגיל"; מערך התרגול תשע"ב, סדרות/קושי, התרגיל הראשון (עם פתרון; שם בניסוח [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|<\frac1{2^n} }[/math]); מאגר 2.13-03 (◆, ק' 3, בוחן ✓ 10 דק').
דוגמה 4: בוחן: סדרה מכווצת
(בוחן 1, תשע"ה, שאלה 1ב) יהי [math]\displaystyle{ q\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0<q<1 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שלכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le q\cdot|a_n-a_{n-1}| }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת. (הרמז בבוחן: "יש בשאלה הזו קושי".)
בכל צעד המרחק בין איברים סמוכים קטן לפחות פי [math]\displaystyle{ q }[/math], ולכן ההפרשים חסומים על ידי סדרה הנדסית, כמו בדוגמה 3. נסמן [math]\displaystyle{ d=|a_2-a_1| }[/math].
שלב 1: נוכיח באינדוקציה שלכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{k+1}-a_k|\le q^{k-1}d }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] זה שוויון. אם זה נכון עבור [math]\displaystyle{ k }[/math], אזי לפי הנתון (עם [math]\displaystyle{ n=k+1\ge2 }[/math]) ולפי הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ |a_{k+2}-a_{k+1}|\le q|a_{k+1}-a_k| }[/math] [math]\displaystyle{ \le q\cdot q^{k-1}d=q^kd }[/math].
שלב 2: יהיו [math]\displaystyle{ m>n }[/math] מספרים טבעיים. כמו בדוגמה 3 (סכום טלסקופי ואי־שוויון המשולש), ולפי שלב 1: [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|\le|a_{n+1}-a_n|+\cdots }[/math] [math]\displaystyle{ +|a_m-a_{m-1}| }[/math] [math]\displaystyle{ \le d\left(q^{n-1}+q^n+\cdots+q^{m-2}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =dq^{n-1}\cdot\frac{1-q^{m-n}}{1-q} }[/math] [math]\displaystyle{ \le\frac{d}{1-q}\,q^{n-1} }[/math], כי [math]\displaystyle{ d\ge0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1-q>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0<1-q^{m-n}<1 }[/math].
שלב 3: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<q<1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ q^{n-1}\to0 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \frac{d}{1-q}\,q^{n-1}\to0 }[/math]. לכן קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{d}{1-q}\,q^{n-1}<\varepsilon }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|\le\frac{d}{1-q}\,q^{n-1}<\varepsilon }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרת קושי, ולפי קריטריון קושי היא מתכנסת. התנאי [math]\displaystyle{ q<1 }[/math] הכרחי: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|=1\cdot|a_n-a_{n-1}| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math], והיא אינה מתכנסת.
מקור: בוחן 1 תשע"ה (88-132), שאלה 1ב, בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1" (ארז הקליד את הבוחן, 15.12.2014, לפי היסטוריית הדף), עם הרמז "יש בשאלה הזו קושי"; דף הפתרון "בוחן 1 - פתרון" (איתמר שטיין) מפנה למערך התרגול תשע"ב, סדרות/קושי, התרגיל השני (עם פתרון, שם בלי אינדוקציה מפורשת); מאגר 2.13-04 (◆, ק' 3, בוחן ½ 7 דק'; גם HW-A 5.4, HW-B 5.5א).
טעויות נפוצות
לחשוב שמספיק ש [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\to0 }[/math]: התנאי הזה משווה רק איברים סמוכים, ובסדרה [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math] הוא מתקיים אף שהסדרה שואפת לאינסוף; קריטריון קושי דורש שהמרחק בין כל שני איברים אחרי [math]\displaystyle{ K }[/math] יהיה קטן, גם בין רחוקים כמו [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{4n} }[/math].
לבחור את [math]\displaystyle{ K }[/math] לפי הזוג: [math]\displaystyle{ K }[/math] נבחר אחרי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ורשאי להיות תלוי בו, אבל לא בזוג [math]\displaystyle{ m,n }[/math], ו־[math]\displaystyle{ K }[/math] אחד חייב להתאים לכל הזוגות [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math]; לכן "לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+k}-a_n\to0 }[/math]" (שבו המקום תלוי גם ב־[math]\displaystyle{ k }[/math]) אינו קריטריון קושי.
בשלילת ההגדרה הופכים את הכמתים ואת אי־השוויון: קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|\ge\varepsilon }[/math]; ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] נבחר פעם אחת לפני [math]\displaystyle{ K }[/math], והזוג נבחר אחרי [math]\displaystyle{ K }[/math] ותלוי בו (כמו [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ m=4n }[/math] בדוגמה 1).
להשמיט "סופי" או לחשוב שהמשפט נותן את הגבול: קריטריון קושי מבטיח שקיים גבול ממשי (לכן סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], כמו [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math], אינה סדרת קושי), אבל אינו אומר מהו הגבול; בדוגמה 3 הוכחנו התכנסות בלי לדעת את הגבול.
לשכוח שהמשפט הוא על ממשיים: הקירובים העשרוניים [math]\displaystyle{ 1,1.4,1.41,1.414,\dots }[/math] של [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] הם סדרת קושי של מספרים רציונליים, אבל אין לה גבול ב־[math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math]; שלמות הממשיים היא מה שמבטיח את קיום הגבול.
לתרגול
מבחן דמה נוסף תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 2א: [math]\displaystyle{ 0<a_{n+1}-a_n<\varepsilon }[/math] החל ממקום מסוים, האם הסדרה מתכנסת? כמו דוגמה 1 (פתרון). קושי 1–2.
מבחן לדוגמא תש"ף (מדמ"ח) · שאלה 5א: סדרה חיובית ועולה עם [math]\displaystyle{ a_{n+k}-a_n\to0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math], האם מתכנסת? כמו דוגמה 1 (פתרון). קושי 2.
מבחן תש"נ · שאלה 5: הגדרת סדרת קושי, סדרת קושי של רציונליים שאינה מתכנסת ב־[math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], וסדרה עם הפרשים [math]\displaystyle{ (-1)^n\left(\frac1{2^n}+\frac1{2^nn!}\right) }[/math] (פתרון חלקי בוויקי). קושי 1–2.
מועד ב' תשנ"ו · שאלה 1: [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|<b_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] טור חיובי מתכנס, הכללה של דוגמה 3; דורש טורים (פרק 3) (פתרון בוויקי). קושי 3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות.
מערך תרגול: סדרות קושי · ארבעה תרגילים פתורים: [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|<\frac1{2^n} }[/math] (דוגמה 3), סדרה מכווצת (דוגמה 4), [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac1{(n+1)^2} }[/math] מתכנסת, ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac1{n+1} }[/math] אינה סדרת קושי.
תרגול 6 (לואי ומני) · עמ' 4–5: הגדרה שקולה עם [math]\displaystyle{ n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n+k }[/math], התרגיל [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|<\frac1{2^n} }[/math], שלילת קושי עבור [math]\displaystyle{ 1+\frac13+\cdots+\frac1{2n-1} }[/math], והשאלה אם [math]\displaystyle{ a_{n+k}-a_n\to0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מספיק; עם פתרונות.
![משמאל: סדרת קושי. הסדרה מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] וצעדים שגודלם [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|=0.8^n }[/math] ובסימנים לא סדירים, ולכן היא מקיימת את התנאי של דוגמה 4 עם [math]\displaystyle{ q=0.8 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.4 }[/math] והמקום [math]\displaystyle{ K=6 }[/math], כל האיברים שאחרי [math]\displaystyle{ K }[/math] (הנקודות המלאות) נמצאים בתוך הרצועה הכחולה, שגובהה [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], ולא על שפתה, ולכן המרחק בין כל שניים מהם קטן מ־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]; החץ הירוק מראה את הזוג הרחוק ביותר ביניהם, [math]\displaystyle{ a_7 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{11} }[/math]. המקום [math]\displaystyle{ K=5 }[/math] אינו מספיק, כי [math]\displaystyle{ |a_6-a_{11}|\approx0.55 }[/math]. הגבול של הסדרה אינו מסומן, כי התנאי של קושי אינו מזכיר אותו. מימין: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt n }[/math]. ההפרשים בין איברים סמוכים שואפים לאפס, אבל עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ K }[/math], הזוג [math]\displaystyle{ n=K+1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ m=4n }[/math] רחוק: [math]\displaystyle{ a_{4n}-a_n=\sqrt n\ge1 }[/math] (החץ האדום, עבור [math]\displaystyle{ K=5 }[/math]: [math]\displaystyle{ a_{24}-a_6=\sqrt6 }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math] אינה סדרת קושי.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-22.png)