בקצרה: סדרה ששואפת לאפס נקראת אפסה. לאפס יש מעמד מיוחד: סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לגבול סופי [math]\displaystyle{ L }[/math] אם ורק אם המרחק [math]\displaystyle{ |a_n-L| }[/math] שואף לאפס, ולכן כל שאלה על גבול סופי אפשר לתרגם לשאלה על אפסה. בסעיף שני כלים לעבודה עם אפסות: אפסה כפול חסומה היא אפסה (בניגוד למקרה הבעייתי "אפס כפול אינסוף", שבו הכול יכול לקרות), וסכום של שתי אפסות הוא אפסה. שני הכלים משמשים בהמשך בהוכחת אריתמטיקה של גבולות, והראשון מטפל גם בגבולות כמו [math]\displaystyle{ \frac{\sin n}{n}\to0 }[/math], שבהם לגורם החסום אין גבול כלל.
▶ ההרצאה: שאיפה לאפס
אפסה כפול חסומה בתמונה: [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] שואפת לאפס, [math]\displaystyle{ b_n=2\sin n }[/math] חסומה ([math]\displaystyle{ |b_n|\le M }[/math] עם [math]\displaystyle{ M=2 }[/math]) אך אינה מתכנסת, והמכפלה [math]\displaystyle{ a_nb_n=\frac{2\sin n}{n} }[/math] (הנקודות המלאות) כלואה ב"משפך" התכול שבין [math]\displaystyle{ -Ma_n }[/math] ל־[math]\displaystyle{ Ma_n }[/math], כי [math]\displaystyle{ |a_nb_n|\le M|a_n| }[/math]. שפות המשפך שואפות לאפס וגוררות איתן את המכפלה. זה בדיוק רעיון ההוכחה: בהינתן [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] (הרצועה בין הקווים המקווקווים) בוחרים מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שאחריו [math]\displaystyle{ |a_n|<\frac\varepsilon M }[/math]; כאן [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ K=6 }[/math], כי עבור [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac2n<0.3 }[/math] בדיוק כאשר [math]\displaystyle{ n>6 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] כל המשפך, ובפרט [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math], נמצא בתוך הרצועה. חלק מהנקודות (במקומות [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n=6 }[/math]) נמצאות ברצועה עוד לפני [math]\displaystyle{ K }[/math]: ההוכחה אינה מחפשת את המקום הקטן ביותר, רק מקום שעובד.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n-L|\to0 }[/math].
מסקנה 2.2.2
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n|\to0 }[/math].
חשבו את הגבולות הבאים ונמקו, בשם הטענה שבה השתמשתם: (א) [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\sqrt n}{\sqrt n} }[/math] (בוחן 1 מדמ"ח תשע"ב) (ב) [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n!)-\cos(n^n)}{n} }[/math] (הבוחן בקבוצה של ארז, תשע"ז) (ג) [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{\cos n}{n}\right) }[/math]
(א) נכתוב [math]\displaystyle{ \frac{\sin\sqrt n}{\sqrt n}=\frac1{\sqrt n}\cdot\sin\sqrt n }[/math]. הגורם [math]\displaystyle{ \frac1{\sqrt n} }[/math] הוא אפסה: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>\frac1{\varepsilon^2} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n>\frac1{\varepsilon^2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sqrt n>\frac1\varepsilon }[/math] (הוצאת שורש שומרת על אי־שוויון בין מספרים חיוביים), כלומר [math]\displaystyle{ \left|\frac1{\sqrt n}-0\right|=\frac1{\sqrt n}<\varepsilon }[/math]. הגורם [math]\displaystyle{ \sin\sqrt n }[/math] חסום, כי [math]\displaystyle{ |\sin\sqrt n|\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. לכן לפי אפסה כפול חסומה (טענה 2.2.3) [math]\displaystyle{ \frac{\sin\sqrt n}{\sqrt n}\to0 }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ \frac{\sin(n!)-\cos(n^n)}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1n\cdot\big(\sin(n!)-\cos(n^n)\big) }[/math]. הגורם [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] הוא אפסה, והגורם השני חסום: לפי אי־שוויון המשולש [math]\displaystyle{ |\sin(n!)-\cos(n^n)| }[/math] [math]\displaystyle{ \le|\sin(n!)|+|\cos(n^n)|\le2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. המספרים [math]\displaystyle{ n! }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n^n }[/math] גדלים מהר מאוד, אבל זה לא משנה דבר: רק החסימות חשובה. לכן לפי אפסה כפול חסומה הגבול הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. (אפשר גם לפצל: [math]\displaystyle{ \frac{\sin(n!)}n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{-\cos(n^n)}n\to0 }[/math] מאותו שיקול, ולפי סכום אפסות, טענה 2.2.4, גם סכומן שואף לאפס.)
(ג) לפי טענה 2.2.1 מספיק להראות שהמרחק מ־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] שואף לאפס: [math]\displaystyle{ \left|\left(2+\frac{\cos n}{n}\right)-2\right| }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{|\cos n|}{n}=\frac1n\cdot|\cos n| }[/math]. זו מכפלה של האפסה [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] בסדרה החסומה [math]\displaystyle{ |\cos n| }[/math] ([math]\displaystyle{ |\cos n|\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]), ולכן היא שואפת לאפס לפי אפסה כפול חסומה. מכאן, לפי טענה 2.2.1, [math]\displaystyle{ 2+\frac{\cos n}{n}\to2 }[/math]. זה השימוש הטיפוסי בטענה 2.2.1: כדי להוכיח [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] מוכיחים ש [math]\displaystyle{ |a_n-L| }[/math] אפסה.
מקור: (א) בוחן 1 מדמ"ח תשע"ב, 18.12.11, שאלה 6א (Q6a; הטופס 11Infi1CSBohan1.pdf, הפתרון בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1": "חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0"); (ב) הבוחן בקבוצה של ארז 26.12.2016, שאלה 1ה (Q11; QuitzCalculus1.pdf, פתרון QuitzCalculus12016sol.pdf), וגם בוחן Q2 ש12ב; מאגר 2.2-04 (◆, ק' 1, בוחן ✓); (ג) דוגמה להמחשת טענה 2.2.1 (בסרטון, 0:07–2:11, הטענה מוכחת בלי דוגמה מספרית); תרגיל קרוב: HW-A 3.3 (מאגר 2.2-10).
דוגמה 2: אפסה כפול סדרה שאינה מתכנסת: כל האפשרויות
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה ממשית כלשהי. האם בהכרח [math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math]? ואם נתון גם ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה מתכנסת, מה אפשר לומר על [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math]?
לא. בלי ההנחה ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה אי אפשר להשתמש באפסה כפול חסומה, ו"כל האפשרויות מתקבלות". בדוגמאות שלהלן [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] או [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n} }[/math], ושתיהן אפסות (את השנייה מקבלים ממסקנה 2.2.2, כי [math]\displaystyle{ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n\to0 }[/math]):
[math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=n }[/math]: [math]\displaystyle{ a_nb_n=1\to1 }[/math] (גבול סופי שאינו אפס).
[math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n} }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=n }[/math]: [math]\displaystyle{ a_nb_n=(-1)^n }[/math], ולסדרה זו אין גבול.
[math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n }[/math]: [math]\displaystyle{ a_nb_n=\frac{(-1)^n}{n}\to0 }[/math], כי כאן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה ([math]\displaystyle{ |(-1)^n|\le1 }[/math]) ואפשר להשתמש באפסה כפול חסומה.
בארבע הדוגמאות [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה מתכנסת, ובכל זאת המכפלה פעם שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], פעם לאינסוף, פעם אין לה גבול ופעם היא אפסה: מהעובדה ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה מתכנסת אי אפשר להסיק דבר על [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math]. בשלוש הדוגמאות הראשונות [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math], וזה המקרה הבעייתי "[math]\displaystyle{ 0\cdot\infty }[/math]"; במשפט מה שמציל הוא החסימות של [math]\displaystyle{ b_n }[/math], לא התכנסות שלה.
מקור: לוח תשפ"ד הרצאה 5 עמ' 25 (R5-2.14: "האם a_nb_n→0?", "תשובה: לא!!!", שלוש הדוגמאות הראשונות, ו"זכרו... 0·∞ זה מקרה בעייתי"; הדוגמה הרביעית בלוח היא b_n=1); הדוגמה עם b_n=(−1)^n והשאלה "ולסדרה b_n אין גבול" ממערך התרגול תשע"ב (סדרות/גבול §אריתמטיקה, W2a E7: "כל האפשרויות מתקבלות") ומתרגול 4 של לואי ומני עמ' 2–3 ("שום דבר", ארבע דוגמאות); remark_text של טענה 2.2.3; מאגר 2.2-05 (◆, ק' 2, בוחן ✓).
דוגמה 3: הוכיחו או הפריכו: מה נובע ממכפלה ששואפת לאפס?
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות. (א) הוכיחו או הפריכו: אם [math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] או [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]. (ב) יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math]. הוכיחו או הפריכו: אם [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math].
(א) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי ו־[math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי (כלומר [math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ b_n=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי ו־[math]\displaystyle{ b_n=1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי (כלומר [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,\dots }[/math]). בכל מקום אחד הגורמים הוא אפס, ולכן [math]\displaystyle{ a_nb_n=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math].
אבל [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math]: נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac12 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] המקום [math]\displaystyle{ n=2K+1>K }[/math] אי־זוגי, ולכן [math]\displaystyle{ |a_n-0|=1\ge\varepsilon }[/math]; לפי שלילת הגבול (מסקנה 2.1.4) [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math]. כך גם [math]\displaystyle{ b_n\not\to0 }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] המקום [math]\displaystyle{ n=2K+2>K }[/math] זוגי, ו־[math]\displaystyle{ |b_n-0|=1\ge\varepsilon }[/math]. (למעשה אף אחת משתי הסדרות אינה מתכנסת כלל.)
(ב) נכון. נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{|a|}2>0 }[/math] בהגדרת הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]: קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-a|<\frac{|a|}2 }[/math]. לפי אי־שוויון המשולש [math]\displaystyle{ |a|\le|a_n|+|a-a_n| }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|\ge|a|-|a_n-a| }[/math] [math]\displaystyle{ >|a|-\frac{|a|}2=\frac{|a|}2>0 }[/math].
נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ d_n }[/math]: [math]\displaystyle{ d_n=\frac1{a_n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n>K }[/math] (שם [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ d_n=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\le K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ |d_n|<\frac2{|a|} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ d_n }[/math] חסומה.
לפי הנתון [math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math], ולכן לפי אפסה כפול חסומה [math]\displaystyle{ (a_nb_n)\cdot d_n\to0 }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a_nb_n)\cdot d_n=a_nb_n\cdot\frac1{a_n}=b_n }[/math]. כלומר לסדרות [math]\displaystyle{ (a_nb_n)\cdot d_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] יש זנבות שווים, ולכן לפי מסקנה 2.1.17 גם [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math].
המסקנה: ממכפלה ששואפת לאפס אי אפשר להסיק שאחד הגורמים שואף לאפס, אלא אם ידוע שהגורם השני "רחוק מאפס" החל ממקום מסוים.
מקור: (א) מועד א' תשפ"ב (תיכוניסטים), שאלה 2א (E82A; בקובץ מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf, עמ' 2, הסדרות נקראות x_n, y_n; הפרכה בסדרות 0/1 מתחלפות, הצעת פתרון של יונתן סמידוברסקי); אותה שאלה בבוחן אנליזה למורים 15.12.15 ש3ג (T16Q, R7a) ובדף תרגילי החזרה לבוחן של ארז תשע"ז (HazaraBohanInfi12016.pdf, ש4ג); מאגר 2.2-08 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). (ב) הווריאנט "a_n→a≠0, a_nb_n→0 ⇒ b_n→0 (נכון)" מאותו פריט במאגר; הצעד "החל ממקום מסוים a_n≠0" לפי פתרון ארז ל־XI X27 (G3).
דוגמה 4: בוחן: אפסה כפול חסומה בתחפושת
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ a_n-b_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^2+b_n^2\to L }[/math]. הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ a_n^2-b_n^2\to0 }[/math].
נכון. הרעיון: לפרק את הביטוי למכפלה של אפסה בחסומה. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n^2-b_n^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n) }[/math].
הגורם [math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math] הוא אפסה לפי הנתון.
הגורם [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] חסום: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n^2+b_n^2 }[/math] מתכנסת, ולכן חסומה (משפט 2.1.14); בפרט קיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n^2+b_n^2\le M }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ b_n^2\ge0 }[/math] נובע [math]\displaystyle{ a_n^2\le a_n^2+b_n^2\le M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_n|\le\sqrt M }[/math]; מאותו שיקול, כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n^2\ge0 }[/math], גם [math]\displaystyle{ |b_n|\le\sqrt M }[/math]. לפי אי־שוויון המשולש [math]\displaystyle{ |a_n+b_n|\le|a_n|+|b_n|\le2\sqrt M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].
לפי אפסה כפול חסומה [math]\displaystyle{ (a_n+b_n)(a_n-b_n)\to0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n^2-b_n^2\to0 }[/math].
שימו לב מה לא עשינו: לא הנחנו ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] או [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסות, והן לא חייבות להתכנס: למשל [math]\displaystyle{ a_n=b_n=(-1)^n }[/math] מקיימות את שני הנתונים ([math]\displaystyle{ a_n-b_n=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^2+b_n^2=2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]). לכן אי אפשר "להציב גבולות" ולהשתמש באריתמטיקה של גבולות; החסימות היא מה שמציל.
מקור: בוחן 1 תשע"ה, שאלה 1א (הדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1", שארז הקליד ב־15.12.2014; פתרון בדף "בוחן 1 - פתרון" של איתמר שטיין, 24–28.12.2014, עם אותו פירוק (a_n+b_n)(a_n−b_n) וחסימות דרך 0≤a_n²≤a_n²+b_n²; שם החסימות של b_n נעשית "באופן דומה", כאן במפורש); G6 E1 ש1א; מאגר 2.2-09 (◆, ק' 3, בוחן ✓).
טעויות נפוצות
להכליל את מסקנה 2.2.2 ל"[math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n|\to|L| }[/math]": הכיוון מ־[math]\displaystyle{ |a_n|\to|L| }[/math] שגוי, למשל [math]\displaystyle{ |(-1)^n|=1\to1 }[/math] אבל ל־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] אין גבול. השקילות עם הערך המוחלט נכונה רק לגבול [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כי רק אז [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|a_n| }[/math].
לבלבל בין חסומה למתכנסת. המשפט צריך בדיוק את החסימות של [math]\displaystyle{ b_n }[/math]. בלעדיה המסקנה אינה נכונה בהכרח: [math]\displaystyle{ \frac1n\cdot n\to1 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac1n\cdot n^2\to\infty }[/math], ול־[math]\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n}\cdot n=(-1)^n }[/math] אין גבול (המקרה הבעייתי "[math]\displaystyle{ 0\cdot\infty }[/math]"). התכנסות אינה נדרשת: [math]\displaystyle{ \sin n }[/math] אינה מתכנסת, ובכל זאת [math]\displaystyle{ \frac{\sin n}{n}\to0 }[/math]; ובפתרון אין לכתוב "[math]\displaystyle{ \lim\sin n }[/math]", כי הגבול הזה אינו קיים.
להסיק מ־[math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math] ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] או [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]: הסדרות [math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0,1,0,1,\dots }[/math] אינן מתכנסות, אבל מכפלתן היא הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (שאלה ממועד א' תשפ"ב). אפשר להסיק ש [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math] רק כשהגורם השני רחוק מאפס, למשל כש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לגבול שונה מאפס.
להפעיל את סכום אפסות כשמספר המחוברים גדל עם [math]\displaystyle{ n }[/math]. הטענה נכונה לשתי סדרות, ולכן (באינדוקציה) לכל מספר קבוע של סדרות, אבל [math]\displaystyle{ \underbrace{\frac1n+\dots+\frac1n}_{n}=1 }[/math] אף שכל מחובר שואף לאפס (ההערה בסרטון, 8:19–8:47).
בהוכחת אפסה כפול חסומה: לכתוב [math]\displaystyle{ |a_nb_n|<M|a_n| }[/math] במקום [math]\displaystyle{ |a_nb_n|\le M|a_n| }[/math] (ייתכן [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math]; בסרטון 5:16–5:26), או לחלק ב־[math]\displaystyle{ M }[/math] בלי לוודא ש [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] (5:50). בהוכחת סכום אפסות: לבחור [math]\displaystyle{ K=K_1 }[/math] או [math]\displaystyle{ K=K_2 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ K=\max(K_1,K_2) }[/math], המקום שאחריו שני התנאים מתקיימים יחד (בסרטון 11:37–12:02: אם האחד מתקיים החל מ־[math]\displaystyle{ 1000 }[/math] והשני החל מ־[math]\displaystyle{ 500 }[/math], שניהם מתקיימים החל מ־[math]\displaystyle{ 1000 }[/math]).
לתרגול
מועד א' תשפ"ב (תיכוניסטים) · שאלה 2א: הוכיחו או הפריכו, [math]\displaystyle{ x_ny_n\to0 }[/math] גורר [math]\displaystyle{ x_n\to0 }[/math] או [math]\displaystyle{ y_n\to0 }[/math] (הצעת פתרון של יונתן סמידוברסקי)
![אפסה כפול חסומה בתמונה: [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] שואפת לאפס, [math]\displaystyle{ b_n=2\sin n }[/math] חסומה ([math]\displaystyle{ |b_n|\le M }[/math] עם [math]\displaystyle{ M=2 }[/math]) אך אינה מתכנסת, והמכפלה [math]\displaystyle{ a_nb_n=\frac{2\sin n}{n} }[/math] (הנקודות המלאות) כלואה ב"משפך" התכול שבין [math]\displaystyle{ -Ma_n }[/math] ל־[math]\displaystyle{ Ma_n }[/math], כי [math]\displaystyle{ |a_nb_n|\le M|a_n| }[/math]. שפות המשפך שואפות לאפס וגוררות איתן את המכפלה. זה בדיוק רעיון ההוכחה: בהינתן [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] (הרצועה בין הקווים המקווקווים) בוחרים מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שאחריו [math]\displaystyle{ |a_n|<\frac\varepsilon M }[/math]; כאן [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ K=6 }[/math], כי עבור [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac2n<0.3 }[/math] בדיוק כאשר [math]\displaystyle{ n>6 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] כל המשפך, ובפרט [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math], נמצא בתוך הרצועה. חלק מהנקודות (במקומות [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n=6 }[/math]) נמצאות ברצועה עוד לפני [math]\displaystyle{ K }[/math]: ההוכחה אינה מחפשת את המקום הקטן ביותר, רק מקום שעובד.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-06.png)