בקצרה: משפט השלמות אומר שבישר הממשי אין "חורים": לכל קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים שחסומה מלעיל יש חסם עליון, כלומר חסם מלעיל קטן ביותר. ברציונליים זה לא כך: לקבוצת המספרים הרציונליים שריבועם קטן משתיים אין חסם מלעיל רציונלי קטן ביותר, כי "הקצה" שלה, [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math], אינו רציונלי. זו אחת הסיבות שבחדו"א עובדים עם הממשיים ולא עם הרציונליים: על השלמות נשענים בהמשך משפטים מרכזיים בקורס, כמו המשפט שסדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת ומשפט ערך הביניים. לצד השלמות עומדות שתי תכונות שמשתמשים בהן כל הזמן: תכונת ארכימדס (לכל מספר ממשי יש מספר טבעי גדול ממנו) והצפיפות (בין כל שני מספרים ממשיים שונים יש מספר רציונלי ויש מספר אי־רציונלי).
▶ ההרצאה: שלימות הממשיים
למעלה: הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math] היא קבוצת המספרים הרציונליים שבקטע [math]\displaystyle{ (-\sqrt2,\sqrt2) }[/math] (הרצועה הכחולה). היא לא ריקה וחסומה מלעיל, למשל על ידי המספרים הרציונליים [math]\displaystyle{ 1.7 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] (הנקודות האפורות), ובממשיים יש לה חסם עליון: [math]\displaystyle{ \sup A=\sqrt2 }[/math]. למטה: הגדלה של הסביבה של [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]. איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] (ירוק) נמצאים משמאל ל־[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math], וחסמי המלעיל הרציונליים של [math]\displaystyle{ A }[/math] (אפור) מימין לו. לכל חסם מלעיל רציונלי [math]\displaystyle{ q }[/math] יש לפי משפט הצפיפות מספר רציונלי בין [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ q }[/math], והוא חסם מלעיל רציונלי קטן יותר (החצים). כיוון ש [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] עצמו אינו רציונלי (העיגול האדום), לקבוצת חסמי המלעיל הרציונליים אין איבר קטן ביותר: ב־[math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] יש "חור" ב־[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math], ובממשיים החור הזה מתמלא.
תהי [math]\displaystyle{ A=\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] לא ריקה ויש לה חסם מלעיל רציונלי, אך לקבוצת חסמי המלעיל הרציונליים של [math]\displaystyle{ A }[/math] אין איבר קטן ביותר.
במילים: ברציונאליים יש קבוצה חסומה מלעיל שאין לה חסם עליון.
במילים:[math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] אינה חסומה מלעיל.
משפט 1.1.11צפיפות הרציונליים והאי-רציונליים▶ סרטון 3:14
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים. אזי קיימים [math]\displaystyle{ r_1\in\mathbb R\setminus\mathbb Q }[/math] ו־[math]\displaystyle{ r_2\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<r_1<b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a<r_2<b }[/math].
במילים: בין כל שני מספרים ממשיים שונים יש מספר אי-רציונלי ויש מספר רציונלי.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: בדיקת ההנחות של משפט השלמות
לכל אחת מהקבוצות הבאות קבעו אם יש לה חסם עליון (ממשי), ונמקו. (א) [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] (ב) [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] (ג) [math]\displaystyle{ A=\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math], כתת־קבוצה של [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. האם יש לה חסם עליון רציונלי?
(א) אין. יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]. התנאי "לכל [math]\displaystyle{ a\in\emptyset }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a\le M }[/math]" מתקיים באופן ריק, כי ל־[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] אין איברים, ולכן [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]. כלומר קבוצת חסמי המלעיל היא כל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ואין בה איבר קטן ביותר: לכל [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] גם [math]\displaystyle{ M-1 }[/math] חסם מלעיל, ו־[math]\displaystyle{ M-1<M }[/math]. כאן הקבוצה חסומה מלעיל, וחסרה ההנחה "לא ריקה".
(ב) אין. יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ n>M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math]. ל־[math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] אין חסמי מלעיל כלל, ובפרט אין לה חסם עליון: חסרה ההנחה "חסומה מלעיל". מסמנים [math]\displaystyle{ \sup\mathbb N=\infty }[/math], אבל זה רק סימון: [math]\displaystyle{ \infty }[/math] אינו מספר ממשי.
(ג) יש. [math]\displaystyle{ 0\in A }[/math] כי [math]\displaystyle{ 0^2<2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A\ne\emptyset }[/math]. [math]\displaystyle{ 2 }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ a\in A }[/math], ונניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a>2 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a^2>2\cdot2=4 }[/math] (כפל אי־שוויונות בין מספרים חיוביים), בסתירה ל־[math]\displaystyle{ a^2<2 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a\le2 }[/math]. [math]\displaystyle{ A }[/math] לא ריקה וחסומה מלעיל, ולכן לפי משפט השלמות יש לה חסם עליון ממשי (בסרטון מוסבר שזהו [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]).
אבל חסם עליון רציונלי אין (טענה 1.1.9). יהי [math]\displaystyle{ q }[/math] חסם מלעיל רציונלי של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ q\ne\sqrt2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] אינו רציונלי; ו־[math]\displaystyle{ q<\sqrt2 }[/math] אינו אפשרי, כי אז לפי משפט הצפיפות קיים [math]\displaystyle{ a\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \max\{q,0\}<a<\sqrt2 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a }[/math] הוא איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 0<a<\sqrt2 }[/math] גורר [math]\displaystyle{ a^2<2 }[/math]) הגדול מ־[math]\displaystyle{ q }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ q>\sqrt2 }[/math].
לפי משפט הצפיפות קיים [math]\displaystyle{ r\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sqrt2<r<q }[/math]. גם [math]\displaystyle{ r }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], כי כל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ a<\sqrt2 }[/math] (אחרת [math]\displaystyle{ a\ge\sqrt2>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a^2\ge2 }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ a<r }[/math]. מצאנו חסם מלעיל רציונלי [math]\displaystyle{ r<q }[/math], ולכן לקבוצת חסמי המלעיל הרציונליים של [math]\displaystyle{ A }[/math] אין איבר קטן ביותר.
אותה קבוצה, ותשובה שונה לפי השדה שבו מחפשים את החסם: זו בדיוק השלמות של [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
מקור: תמליל 05 (7cz-S6GWg3Y): 00:22–00:37 (t=22s), ל־ℕ "אין לה חסמי מלעיל בכלל"; 01:20–01:34 (t=80s), "אנחנו מסמנים שהסופ של A הוא אינסוף... כמובן שזה רק סימון"; 01:39–03:07 (t=99s), הקבוצה A, 0∈A ו־2 חסם מלעיל בשלילה; 04:20–04:26 (t=260s), "בקבוצת הממשיים שורש 2 הוא החסם העליון"; 04:43–05:25, חסמי המלעיל הרציונליים גדולים משורש 2 ואין קטן ביותר. remark_text של משפט 1.1.7 (הקבוצה הריקה); לוח תשפ"א 8.11.20 (R1-X18: "האם ∅ חסומה? יש לה sup?"); לוח תשפ"ד ל2 ע10–11 (R5-1.7: ℕ ותכונת ארכימדס; R5-1.8: "2 חסם מלעיל" בשלילה, בוחן ✓); מאגר 1.3-18 (◆, בוחן: שאלת הבנה) ו־1.3-19.
דוגמה 2: שאלת נכון/לא נכון ממבחן: צפיפות
(מועד א' תשפ"ה, מתמטיקה, חלק נכון/לא נכון, סעיף א) תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצה כך שלכל [math]\displaystyle{ p,q\in\mathbb Q }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ p<q }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ p<a<q }[/math], כלומר בין כל שני מספרים רציונליים יש איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math]. הוכיחו או הפריכו: בין כל שני מספרים אי־רציונליים יש איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math].
נכון. יהיו [math]\displaystyle{ s<t }[/math] מספרים אי־רציונליים.
לפי משפט הצפיפות, עבור [math]\displaystyle{ s<t }[/math], קיים [math]\displaystyle{ p\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ s<p<t }[/math].
שוב לפי משפט הצפיפות, הפעם עבור [math]\displaystyle{ p<t }[/math], קיים [math]\displaystyle{ q\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ p<q<t }[/math].
[math]\displaystyle{ p,q }[/math] מספרים רציונליים ו־[math]\displaystyle{ p<q }[/math], ולכן לפי הנתון קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ p<a<q }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ s<p<a }[/math] [math]\displaystyle{ <q<t }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ s<a<t }[/math]: מצאנו איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] בין [math]\displaystyle{ s }[/math] ל־[math]\displaystyle{ t }[/math].
למה צריך שני רציונליים ולא אחד? הנתון מדבר רק על קטעים שקצותיהם רציונליים, ולכן מוצאים בתוך הקטע [math]\displaystyle{ (s,t) }[/math] קטע [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] שקצותיו רציונליים. שימו לב שלא השתמשנו בכך ש [math]\displaystyle{ s,t }[/math] אי־רציונליים: בין כל שני מספרים ממשיים שונים יש איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math]. דוגמה לקבוצה כזו שאינה [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math]: [math]\displaystyle{ A=\mathbb R\setminus\mathbb Q }[/math], לפי החלק האי־רציונלי של משפט הצפיפות.
מקור: מבחן מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן, 20.2.25), חלק ראשון (נכון/לא נכון), סעיף א; בפתרון הרשמי (עמ' 2): "נכון", שתי הפעלות של צפיפות הרציונליים ("שוב מצפיפות") ואז הנתון. מאגר 1.1-04 (מבחן, ק' 2, בוחן ✓; W5a T85A-I-א). משפט הצפיפות בתמליל 05 (7cz-S6GWg3Y) 03:14–03:56 (t=194s): "בין כל שני מספרים ממשיים שונים יש גם מספר רציונלי וגם מספר אי רציונלי".
דוגמה 3: בין שני מספרים ממשיים יש אינסוף רציונליים
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים. הוכיחו שבקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] יש אינסוף מספרים רציונליים ואינסוף מספרים אי־רציונליים.
רציונליים. נניח בשלילה שבקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] יש רק מספר סופי של מספרים רציונליים. לפי משפט הצפיפות יש בו לפחות אחד, ולכן אפשר לסדר אותם בסדר עולה: [math]\displaystyle{ q_1<\dots<q_k }[/math], עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כלשהו.
[math]\displaystyle{ q_1 }[/math] נמצא בקטע, ולכן [math]\displaystyle{ a<q_1 }[/math]. לפי משפט הצפיפות, עבור [math]\displaystyle{ a<q_1 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ r\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<r<q_1 }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ a<r }[/math] [math]\displaystyle{ <q_1<b }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ r }[/math] מספר רציונלי בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], ולכן הוא אחד מ־[math]\displaystyle{ q_1,\dots,q_k }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ r<q_1\le q_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\le i\le k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ r }[/math] שונה מכולם: סתירה.
אי־רציונליים. נניח בשלילה שבקטע יש רק מספר סופי של מספרים אי־רציונליים. לפי משפט הצפיפות יש בו לפחות אחד, ונסדר אותם בסדר עולה: [math]\displaystyle{ s_1<\dots<s_k }[/math]. לפי משפט הצפיפות, עבור [math]\displaystyle{ a<s_1 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ s\in\mathbb R\setminus\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<s<s_1 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ s }[/math] מספר אי־רציונלי בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] (כי [math]\displaystyle{ s<s_1<b }[/math]), והוא קטן מכל [math]\displaystyle{ s_i }[/math]: סתירה.
הרעיון: אילו היה בקטע מספר רציונלי קטן ביותר, משפט הצפיפות היה נותן רציונלי נוסף בינו לבין [math]\displaystyle{ a }[/math]. מאותה סיבה אין "המספר הרציונלי הבא" אחרי מספר ממשי [math]\displaystyle{ a }[/math].
מקור: מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 8–9 (G1-16): "עובדה: בין כל 2 מס' ממשיים יש אינסוף מס' רציונליים, ואינסוף ממשיים שאינם רציונליים" (שם בלי הוכחה; כאן היא מוסקת ממשפט הצפיפות 1.1.11). בתמליל 05 (7cz-S6GWg3Y) 03:19–03:47 (t=199s) הצפיפות מנוסחת עם "קיים"; ההבדל בין "קיים" ל"אינסוף" הוא תוכן הדוגמה.
דוגמה 4: קיום חסם תחתון דרך [math]\displaystyle{ -A }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע, ונסמן [math]\displaystyle{ -A=\{-a\mid a\in A\} }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ -A }[/math] לא ריקה וחסומה מלעיל, ושמתקיים [math]\displaystyle{ \inf A=-\sup(-A) }[/math]. (זו ההוכחה של מסקנה 1.1.8.)
[math]\displaystyle{ A }[/math] חסומה מלרע; יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb R }[/math] חסם מלרע שלה. [math]\displaystyle{ -A }[/math] לא ריקה: [math]\displaystyle{ A\ne\emptyset }[/math], ולכן קיים [math]\displaystyle{ a_0\in A }[/math], ואז [math]\displaystyle{ -a_0\in -A }[/math].
[math]\displaystyle{ -m }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ y\in -A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ y=-a }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כלשהו, ו־[math]\displaystyle{ a\ge m }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ y=-a\le -m }[/math].
לפי משפט השלמות קיים [math]\displaystyle{ S=\sup(-A) }[/math]. נוכיח ש [math]\displaystyle{ -S }[/math] הוא האיבר הגדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -S=\inf A }[/math].
[math]\displaystyle{ -S }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ -a\in -A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -a\le S }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a\ge -S }[/math].
[math]\displaystyle{ -S }[/math] הוא הגדול ביותר: יהי [math]\displaystyle{ \ell }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ y\in -A }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ y=-a }[/math] עם [math]\displaystyle{ a\in A }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ a\ge\ell }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ y\le -\ell }[/math]; כלומר [math]\displaystyle{ -\ell }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math]. [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא הקטן ביותר מבין חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S\le -\ell }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \ell\le -S }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ \inf A=-S=-\sup(-A) }[/math], ובפרט ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] יש חסם תחתון. הרעיון: הכפלה ב־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] הופכת את הסדר, ולכן חסמי המלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הופכים לחסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ -A }[/math], והגדול ביותר הופך לקטן ביותר.
מקור: proofat של מסקנה 1.1.8; מאגר 1.3-34 (ש"ב◆, ק' 2, בוחן ✓ 7 דק'): תוכנית XI שאלה X9 (G3; R6c XI1.11), HW-A 2.7 (G5; הניסוח "הקטן ביותר" תוקן ב־HW-B), כיתת מבר 27.10.20 (R8c), ש"ב 2 תש"ף (P2/P3); תרגול 3 של לואי ומני עמ' 2 (W2b-7: "הוכיחו שלכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון", בפתרון B=−A ו־inf(A)=−sup B).
טעויות נפוצות
לשכוח את ההנחה לא ריקה: כל מספר ממשי הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] (באופן ריק), ולכן לקבוצת חסמי המלעיל שלה אין איבר קטן ביותר, כלומר ל־[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] אין חסם עליון.
לכתוב [math]\displaystyle{ \sup\mathbb N=\infty }[/math] ולהסיק שיש ל־[math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] חסם עליון: [math]\displaystyle{ \infty }[/math] אינו מספר ממשי, והסימון אומר רק ש [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] אינה חסומה מלעיל (בסרטון, 1:27: "כמובן שזה רק סימון").
לטעון שלקבוצה [math]\displaystyle{ \{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math] אין חסם מלעיל רציונלי: יש לה, למשל [math]\displaystyle{ 2 }[/math]; מה שאין לה הוא חסם מלעיל רציונלי קטן ביותר (בסרטון, 2:06–2:13: "למרות שיש חסמי מלעיל רציונליים").
לחשוב שמשפט השלמות נותן מקסימום, או נוסחה לחסם העליון: הוא מבטיח רק קיום של חסם עליון, וזה אינו בהכרח איבר של הקבוצה (ל־[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sup(0,1)=1 }[/math], ואין לה מקסימום).
לדבר על "המספר הרציונלי הבא" אחרי מספר ממשי [math]\displaystyle{ a }[/math]: אין כזה, כי לפי משפט הצפיפות בין [math]\displaystyle{ a }[/math] לכל רציונלי [math]\displaystyle{ q>a }[/math] יש רציונלי נוסף. זו גם הסיבה שלחסמי המלעיל הרציונליים של [math]\displaystyle{ \{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math] אין איבר קטן ביותר.
לתרגול
מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף א: בין כל שני אי־רציונליים יש איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math], כמו הדוגמה השנייה בדף (פתרון). קושי 2.
מועד א' תש"ף (מדמ"ח) · שאלה 2א: אם [math]\displaystyle{ \emptyset\ne S\subseteq T }[/math] חסומות מלעיל, אזי [math]\displaystyle{ \sup S\le\sup T }[/math]; הפתרון פותח ב"יש להן חסמים עליונים", כלומר במשפט השלמות (פתרון). קושי 1–2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק החסמים: אקסיומת השלימות, הקבוצה [math]\displaystyle{ \{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math], התנאי השקול לחסם עליון ותרגיל מלא עם הוכחה.
![למעלה: הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math] היא קבוצת המספרים הרציונליים שבקטע [math]\displaystyle{ (-\sqrt2,\sqrt2) }[/math] (הרצועה הכחולה). היא לא ריקה וחסומה מלעיל, למשל על ידי המספרים הרציונליים [math]\displaystyle{ 1.7 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] (הנקודות האפורות), ובממשיים יש לה חסם עליון: [math]\displaystyle{ \sup A=\sqrt2 }[/math]. למטה: הגדלה של הסביבה של [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]. איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] (ירוק) נמצאים משמאל ל־[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math], וחסמי המלעיל הרציונליים של [math]\displaystyle{ A }[/math] (אפור) מימין לו. לכל חסם מלעיל רציונלי [math]\displaystyle{ q }[/math] יש לפי משפט הצפיפות מספר רציונלי בין [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ q }[/math], והוא חסם מלעיל רציונלי קטן יותר (החצים). כיוון ש [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] עצמו אינו רציונלי (העיגול האדום), לקבוצת חסמי המלעיל הרציונליים אין איבר קטן ביותר: ב־[math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] יש "חור" ב־[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math], ובממשיים החור הזה מתמלא.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c1-02.png)