בקצרה: החסם העליון של קבוצה הוא חסם המלעיל ההדוק שלה: אי אפשר להזיז אותו אחורה, אפילו מעט, ולהישאר חסם מלעיל. התנאי השקול אומר זאת בשפה של [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math], קטן ככל שיהיה, המספר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] כבר אינו חסם מלעיל, ולכן יש בקבוצה איבר שגדול ממנו; במילים אחרות, בכל סביבה של החסם העליון יש איבר של הקבוצה. זה הכלי המעשי להוכיח שמספר הוא הסופרמום (או האינפימום): מראים שהוא חוסם את הקבוצה, ולכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] מוצאים איבר מתאים, בלי להשוות אותו לכל חסמי המלעיל. זו גם ההיכרות הראשונה בקורס עם שפת ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ("לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים"), השפה שבה מוגדרים הגבולות בפרקים הבאים.
▶ ההרצאה: תנאי שקול לחסם עליון
הקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] (בירוק: שני קטעים, נקודה בודדת ואינסוף נקודות שמצטברות משמאל ל־[math]\displaystyle{ M }[/math]) והחסם העליון שלה [math]\displaystyle{ M=\sup A }[/math], שאינו שייך ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] (העיגול החלול). האזור האפור מימין ל־[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא קבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]. למעלה: גם עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קטן, המספר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] כבר אינו חסם מלעיל, ולכן יש איבר [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] ברצועה הכחולה, כלומר [math]\displaystyle{ a>M-\varepsilon }[/math]. למטה: עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] גדול יותר המספר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon' }[/math] נופל ב"חור" של [math]\displaystyle{ A }[/math] ואינו איבר שלה, ועבור [math]\displaystyle{ \varepsilon'' }[/math] גדול עוד יותר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon'' }[/math] הוא אפילו חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]; ובכל זאת בשני המקרים יש איברים של [math]\displaystyle{ A }[/math] שגדולים ממנו. זו הטעות הנפוצה מהסרטון: [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] אינו "נכנס לתוך הקבוצה", הוא רק מפסיק להיות חסם מלעיל.
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math];
לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>M-\varepsilon }[/math].
במילים:[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], ולכל מספר הקטן מ־[math]\displaystyle{ M }[/math] יש ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] איבר הגדול ממנו.
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ m }[/math] הוא החסם התחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
[math]\displaystyle{ m }[/math] הוא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math];
לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<m+\varepsilon }[/math].
במילים:[math]\displaystyle{ m }[/math] הוא החסם התחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ m }[/math] הוא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math], ולכל מספר הגדול מ־[math]\displaystyle{ m }[/math] יש ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] איבר הקטן ממנו.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שאלת בוחן: מקסימום, וחסם תחתון שאינו מתקבל
תהי [math]\displaystyle{ A=\left\{\frac{n+1}{n^2+1}\ \Big|\ n\in\mathbb N\right\} }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ \sup A }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \inf A }[/math], וקבעו אם ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] יש מקסימום ומינימום. (רמז: [math]\displaystyle{ n+1\le2n }[/math].)
ניחוש. האיברים הראשונים הם [math]\displaystyle{ 1,\ \frac35,\ \frac25,\dots }[/math], והם קטנים והולכים לכיוון [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. נשער ש [math]\displaystyle{ \max A=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \inf A=0 }[/math]. מקסימום. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n\le n^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ n+1\le n^2+1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n^2+1}\le1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], והוא שייך ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ 1=\max A }[/math], ולפי טענה 1.1.5 גם [math]\displaystyle{ \sup A=1 }[/math]. חסם תחתון, לפי משפט 1.1.13. (1) כל איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. (2) יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ n>\frac2\varepsilon }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ n+1\le2n }[/math] (כי [math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ n^2+1>n^2 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n^2+1}<\frac{2n}{n^2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac2n<\varepsilon }[/math]. כלומר מצאנו איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] שקטן מ־[math]\displaystyle{ 0+\varepsilon }[/math]. לפי משפט 1.1.13 [math]\displaystyle{ \inf A=0 }[/math]. אין מינימום. אילו היה ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מינימום, לפי טענה 1.1.5 הוא היה שווה ל־[math]\displaystyle{ \inf A=0 }[/math]; אבל [math]\displaystyle{ 0\notin A }[/math], כי כל איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] חיוביים.
מקור: בוחן ראשון של ארז בחדו"א 1 לאודיסאה (86-147), 28.11.22, שאלה 2 (R8b O23-Q1 ש2: sup=1 מקסימום, inf=0, עם הרמז n+1≤2n; קיים פתרון); מאגר 1.3-14 (בוחן◆, ק' 2). הפתרון כאן כתוב לפי משפטים 1.1.12–1.1.13 ותכונת ארכימדס (טענה 1.1.10).
דוגמה 2: הדוגמה מהסרטון: קבוצה שאינה מכילה חסמי מלעיל של קבוצה אחרת
תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל, כך ש [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה מכילה חסמי מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math], כלומר אף איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \sup A\le\sup B }[/math].
לפי משפט שלמות הממשיים (1.1.7) ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] ול־[math]\displaystyle{ B }[/math] יש חסמים עליונים, כי הן לא ריקות וחסומות מלעיל. נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ \sup B<\sup A }[/math]. שלב 1: התנאי השקול עבור [math]\displaystyle{ A }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ \varepsilon=\sup A-\sup B }[/math]; אזי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. לפי משפט 1.1.12 קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>\sup A-\varepsilon=\sup B }[/math]. (במילים של הסרטון: [math]\displaystyle{ \sup B }[/math] קטן מחסם המלעיל הקטן ביותר של [math]\displaystyle{ A }[/math], ולכן אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], ויש איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] שגדול ממנו.) שלב 2: הנתון.[math]\displaystyle{ a\in A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math]: קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b>a }[/math]. סתירה. קיבלנו [math]\displaystyle{ b>a>\sup B }[/math], כלומר איבר של [math]\displaystyle{ B }[/math] שגדול מהחסם העליון של [math]\displaystyle{ B }[/math], אף ש [math]\displaystyle{ \sup B }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \sup A\le\sup B }[/math]. שימו לב שייתכן שוויון: עבור [math]\displaystyle{ A=(0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B=\{1\} }[/math] אף איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sup A=1=\sup B }[/math].
מקור: תמליל 06 (mVCNRtV7TP0) 07:29–09:41 (https://www.youtube.com/watch?v=mVCNRtV7TP0&t=449s): הניסוח 07:31–08:02, ההוכחה בשלילה 08:08–09:37 ("לכל מספר שקטן מהחסם העליון של הקבוצה A יש איבר מהקבוצה A שגדול יותר ממנו", 08:17); דף הקורס (rev 90835), סעיף ===חסמים===, "דוגמא"; מאגר 1.3-38 (הרצאה◆, ק' 3). הדוגמה לשוויון (A=(0,1), B={1}) נוספה כאן.
דוגמה 3: [math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup A+\sup B }[/math]: חלוקת ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] לשניים
תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל, ונסמן [math]\displaystyle{ A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\} }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup A+\sup B }[/math]. (במבחן מדמ"ח תשע"ג נשאלה הגרסה לשלוש קבוצות: [math]\displaystyle{ \sup(A+B+C) }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ \sup A+\sup B+\sup C }[/math].)
לפי משפט שלמות הממשיים (1.1.7) קיימים [math]\displaystyle{ \sup A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sup B }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ M=\sup A+\sup B }[/math] ונוכיח את שני התנאים של משפט 1.1.12 עבור הקבוצה [math]\displaystyle{ A+B }[/math]. (1) [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל. יהי [math]\displaystyle{ x\in A+B }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x=a+b }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כלשהם. כיוון ש [math]\displaystyle{ a\le\sup A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b\le\sup B }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ x=a+b\le M }[/math]. (2) תנאי ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נפעיל את משפט 1.1.12 על [math]\displaystyle{ A }[/math] ועל [math]\displaystyle{ B }[/math], בכל פעם עם [math]\displaystyle{ \frac\varepsilon2>0 }[/math]: קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>\sup A-\frac\varepsilon2 }[/math], וקיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b>\sup B-\frac\varepsilon2 }[/math]. נחבר את שני אי־השוויונים: [math]\displaystyle{ a+b\in A+B }[/math] ו־ [math]\displaystyle{ a+b>\sup A+\sup B-\varepsilon }[/math] [math]\displaystyle{ =M-\varepsilon }[/math]. לפי משפט 1.1.12, [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A+B }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sup(A+B)=\sup A+\sup B }[/math]. מדוע [math]\displaystyle{ \frac\varepsilon2 }[/math]? בכל אחת משתי הקבוצות "מפסידים" פחות מ־[math]\displaystyle{ \frac\varepsilon2 }[/math], ויחד פחות מ־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. שלוש קבוצות (עם [math]\displaystyle{ C }[/math] לא ריקה וחסומה מלעיל): [math]\displaystyle{ A+B }[/math] לא ריקה (כי [math]\displaystyle{ A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B }[/math] לא ריקות) וחסומה מלעיל לפי (1), ו־[math]\displaystyle{ A+B+C=(A+B)+C }[/math], ולכן לפי מה שהוכחנו, פעמיים: [math]\displaystyle{ \sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup C }[/math] [math]\displaystyle{ =\sup A+\sup B+\sup C }[/math].
מקור: מבחן מדמ"ח תשע"ג מועד א' שאלה 2א (W4b E12-Q2א, הגרסה ל־A+B+C; הפתרון בוויקי, בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס", נכתב כולו על ידי איתמר שטיין (11 גרסאות, 28.1–1.2.2013, אומת ב־API) ומוכיח את המינימליות בשלילה, בלי ε); תרגול 2 של לואי ומני עמ' 3 (W2b-5, עם ε/2 לכל קבוצה); מאגר 1.3-39 (תרגול/מבחן◆/הרצאה◆, ק' 2–3).
דוגמה 4: קבוצה עם שני פרמטרים: [math]\displaystyle{ \sup }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \inf }[/math] שאינם מתקבלים
תהי [math]\displaystyle{ A=\left\{\frac{5n-4m}{n+m}\ \Big|\ n,m\in\mathbb N\right\} }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \sup A=5 }[/math] וכי [math]\displaystyle{ \inf A=-4 }[/math], ושאין ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מקסימום ומינימום.
כתיבה נוחה. לכל [math]\displaystyle{ n,m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{5n-4m}{n+m}=5-\frac{9m}{n+m} }[/math] [math]\displaystyle{ =-4+\frac{9n}{n+m} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 5(n+m)-9m=5n-4m }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -4(n+m)+9n=5n-4m }[/math]). [math]\displaystyle{ \sup A=5 }[/math]. (1) [math]\displaystyle{ \frac{9m}{n+m}>0 }[/math], ולכן כל איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] קטן ממש מ־[math]\displaystyle{ 5 }[/math]; בפרט [math]\displaystyle{ 5 }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]. (2) יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ m=1 }[/math], ולפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ n>\frac9\varepsilon }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac9{n+1}<\frac9n<\varepsilon }[/math], ולכן האיבר [math]\displaystyle{ 5-\frac9{n+1} }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] גדול מ־[math]\displaystyle{ 5-\varepsilon }[/math]. לפי משפט 1.1.12 [math]\displaystyle{ \sup A=5 }[/math]. [math]\displaystyle{ \inf A=-4 }[/math]. (1) [math]\displaystyle{ \frac{9n}{n+m}>0 }[/math], ולכן כל איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] גדול ממש מ־[math]\displaystyle{ -4 }[/math]; בפרט [math]\displaystyle{ -4 }[/math] הוא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. (2) יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ n=1 }[/math], ולפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m>\frac9\varepsilon }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac9{1+m}<\frac9m<\varepsilon }[/math], ולכן האיבר [math]\displaystyle{ -4+\frac9{1+m} }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ -4+\varepsilon }[/math]. לפי משפט 1.1.13 [math]\displaystyle{ \inf A=-4 }[/math]. אין מקסימום ומינימום. אילו היה ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מקסימום, לפי טענה 1.1.5 הוא היה שווה ל־[math]\displaystyle{ \sup A=5 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ 5\notin A }[/math] כי כל האיברים קטנים ממש מ־[math]\displaystyle{ 5 }[/math]. אילו היה ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מינימום, הוא היה שווה ל־[math]\displaystyle{ \inf A=-4 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ -4\notin A }[/math] כי כל האיברים גדולים ממש מ־[math]\displaystyle{ -4 }[/math].
מקור: תוכנית XI של ארז, שאלה X3 (G3: "מציאת חסמים לקבוצה (עם שני פרמטרים)", הקבוצה {(an−bm)/(n+m)} עם פתרון מלא של ארז: m=1 ו־n>(a+b)/ε−1 לחסם העליון, n=1 לחסם התחתון); המופע a=5, b=4 = ש"ב 1 שאלה 2 בדף הסמסטר של החממה תשפ"א (W6a P1); מאגר 1.3-10 (ש"ב◆, ק' 3). הכתיבה 5−9m/(n+m) ו־−4+9n/(n+m) עוקפת את שתי השגיאות במשוב XI ("חסם מלעיל" במקום מלרע, ופער מקרים כשהמונה שלילי).
טעויות נפוצות
"אם מזיזים את [math]\displaystyle{ M }[/math] אחורה הוא נכנס לתוך הקבוצה": לא. התנאי אומר ש [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math]אינו חסם מלעיל, ולכן יש איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] שגדול ממנו; [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] עצמו לא חייב להיות ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ A=[0,1]\cup\{2\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac12 }[/math] המספר [math]\displaystyle{ \frac32 }[/math] אינו ב־[math]\displaystyle{ A }[/math]), ואם מזיזים מספיק אחורה הוא אפילו חסם מלרע (בסרטון, 00:51–01:14).
סדר הכמתים: לכל[math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]קיים[math]\displaystyle{ a\in A }[/math], והאיבר [math]\displaystyle{ a }[/math] תלוי ב־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. הסדר ההפוך, "קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a>M-\varepsilon }[/math]", אומר ש [math]\displaystyle{ a\ge M }[/math], ויחד עם [math]\displaystyle{ a\le M }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ a=M\in A }[/math], כלומר ש [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא המקסימום של [math]\displaystyle{ A }[/math]; אבל ל־[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] החסם העליון הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ואין מקסימום.
לבדוק רק את תנאי ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] אינו מספיק, צריך גם להראות ש [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל: עבור [math]\displaystyle{ A=(0,1) }[/math] גם [math]\displaystyle{ M=\frac12 }[/math] מקיים את תנאי ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] (האיבר [math]\displaystyle{ a=\frac34 }[/math] מתאים לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]), אבל [math]\displaystyle{ \sup A=1 }[/math].
בחסם התחתון הכיוונים מתהפכים: בודקים את [math]\displaystyle{ m+\varepsilon }[/math] ומחפשים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<m+\varepsilon }[/math]. מי שמעתיק את התנאי של החסם העליון ([math]\displaystyle{ a>m-\varepsilon }[/math]) לא הוכיח דבר, כי כש [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלרע זה מתקיים לכל איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math].
לכתוב [math]\displaystyle{ \sup A }[/math] לפני שבודקים שהוא קיים: לקבוצה ריקה ולקבוצה שאינה חסומה מלעיל אין חסם עליון. כשמשתמשים ב־[math]\displaystyle{ \sup A }[/math] כמספר נתון (כמו בדוגמאות 2 ו־3), מנמקים את קיומו בשלמות הממשיים: [math]\displaystyle{ A }[/math] לא ריקה וחסומה מלעיל.
לתרגול
מועד ב' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף ג: האם מ־[math]\displaystyle{ \sup A=7 }[/math] נובע שיש ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] סדרה עולה ממש השואפת ל־[math]\displaystyle{ 7 }[/math] (פתרון)
מועד א' תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 2א: [math]\displaystyle{ \sup(A+B+C) }[/math], הדוגמה השלישית בדף (דף פתרונות בלבד)
מבחן דמה תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 1: [math]\displaystyle{ \sup }[/math] של איחוד ושל מכפלה, הוכיחו או הפריכו (פתרון; בסעיף 1a הפתרון מוכיח את תנאי ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math])
מועד א' תש"ף (מדמ"ח) · שאלה 2א: מ־[math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] נובע [math]\displaystyle{ \sup S\le\sup T }[/math] (פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק החסמים: המשפט עם הוכחה, והתרגיל [math]\displaystyle{ \left\{\frac1{n^2}+2(-1)^n\right\} }[/math] (מקסימום [math]\displaystyle{ 2\frac14 }[/math], חסם תחתון [math]\displaystyle{ -2 }[/math] בלי מינימום) עם פתרון מלא
תרגול 2 (לואי ומני) · עמ' 2: התנאי השקול ושלילות של ההגדרות; עמ' 3: [math]\displaystyle{ \sup(S+T)=\sup S+\sup T }[/math]; עמ' 3–4: החסמים של [math]\displaystyle{ \left\{\frac1{n^2}+2(-1)^n\right\} }[/math]
![הקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] (בירוק: שני קטעים, נקודה בודדת ואינסוף נקודות שמצטברות משמאל ל־[math]\displaystyle{ M }[/math]) והחסם העליון שלה [math]\displaystyle{ M=\sup A }[/math], שאינו שייך ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] (העיגול החלול). האזור האפור מימין ל־[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא קבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]. למעלה: גם עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קטן, המספר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] כבר אינו חסם מלעיל, ולכן יש איבר [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] ברצועה הכחולה, כלומר [math]\displaystyle{ a>M-\varepsilon }[/math]. למטה: עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] גדול יותר המספר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon' }[/math] נופל ב"חור" של [math]\displaystyle{ A }[/math] ואינו איבר שלה, ועבור [math]\displaystyle{ \varepsilon'' }[/math] גדול עוד יותר [math]\displaystyle{ M-\varepsilon'' }[/math] הוא אפילו חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]; ובכל זאת בשני המקרים יש איברים של [math]\displaystyle{ A }[/math] שגדולים ממנו. זו הטעות הנפוצה מהסרטון: [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] אינו "נכנס לתוך הקבוצה", הוא רק מפסיק להיות חסם מלעיל.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c1-03.png)