הצגת המקור של קוד:מטריצה מייצגת עם פירוק לתתי מרחבים אינווריאנטיים

כעת ננסה לראות מה קורה אם אנו מפרקים את המרחב לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, ומסתכלים על מטריצה מייצגת של אופרטור. כך יתחברו שלושה מושגים שלמדנו לאחרונה - מטריצה אלכסונית בלוקים, סכום ישר ומרחבים אינווריאנטיים.

\begin{lem}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי.

\begin{enumerate}

\item יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים. יהי $B_i$ בסיס של $U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. נסמן $B=B_1\cup\dots\cup B_k=\bigcup_{i=1}^kB_i$. אזי
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}\left[T \right ]_{B_1}\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline \left[T\right]_{B_k} \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\item אם $B$ בסיס של $V$, ואם
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_1 \end{array}
\end{matrix} \right )$$
אזי אפשר לחלק את $B$ לאיחוד זר $B=B_1\cup\dots\cup B_k$, כך ש-$\operatorname{Span}\left(B_i\right)=U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ (העובדה ש-$V=\oplus U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ נובעת מהאיחוד של $B_i$).

\end{enumerate}

\end{lem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item עבור $k=1$ אין מה להוכיח. נניח ש-$k\ge 2$, ונשתמש באינדוקציה לפי $k$.

\begin{description}

\item[בסיס האינדוקציה] $k=2$. כלומר, $V=U_1\oplus U_2$, $B_1$ בסיס ל-$U_1$ ו-$B_2$ בסיס ל-$U_2$. נסמן $B_1=\left \{ v_1,\dots,v_r \right \}$ ו-$B_2=\left \{ u_1,\dots,u_s \right \}$. אזי
$$B=B_1\cup B_2=\left \{ v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}$$

נחשב את $\left[T\right]_B$.

$U_1$ תת-מרחב אינווריאנטי, ולכן לכל $i=1,\dots,r$, 
$T\left(v_i\right)\in U_1$, ומכאן
$$\left[T\left(v_i \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B_1} \\ 
0
\end{matrix} \right )
\begin{matrix}
r\\ 
s
\end{matrix}$$

באופן דומה, לכל $j=1,\dots,s$, 
$$\left[T\left(u_j \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix}
0\\
\left[T\left(u_j \right ) \right ]_{B_2}
\end{matrix} \right )
\begin{matrix}
r\\ 
s
\end{matrix}$$

בסך הכל, קיבלנו שמתקיים
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B},\dots,\left[T\left(u_s \right ) \right ]_B
\end{matrix} \right )=$$
$$=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}
\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B_1} \cdots  \left[T\left(v_r \right ) \right ]_{B_1} & 0\\\hline
0 & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_{B_2} \cdots \left[T\left(u_s \right ) \right ]_{B_2}
\end{array} \end{matrix} \right )$$

\item[צעד האינדוקציה] נניח כי $V=\left(U_1\oplus\cdots\oplus U_{k-1}\right)\oplus U_k$, וכן $B=\bigcup_{i=1}^kB_i$. לפי המקרה $k=2$ שהוכחנו,
$$\left[T \right ]_B=
\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} 
\left[T \right ]_{B_1\cup\dots\cup B_{k-1}} & 0\\ \hline
0 & B_k
\end{array}\end{matrix} \right )
\overset{\textrm{hypothesis}}{=}
\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}\left[T \right ]_{B_1}\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline \left[T\right]_{B_k} \end{array}
\end{matrix} \right )$$
כדרוש.

\end{description}

\item נתונה המטריצה המייצגת
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_1 \end{array}
\end{matrix} \right )$$
יחסית לבסיס $B$ כלשהו.

עבור $k=1$ אין מה להוכיח. נניח $k\ge2$, ונשתמש באינדוקציה לפי $k$.

\begin{description}

\item[בסיס האינדוקציה] $k=2$, כלומר
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}
A_1 & 0\\\hline
0 & A_2
\end{array} \end{matrix} \right )$$

נניח $A_1\in M_r\left(\mathbb{F}\right)$ ו-$A_2\in M_s\left(\mathbb{F}\right)$. נסמן את איברי $B$ כך: 
$$B=\left \{v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s  \right \}$$
ונגדיר $B_1=\left \{v_1,\dots,v_r  \right \}$, 
$B_2=\left \{u_1,\dots,u_s  \right \}$, 
$U_1=\operatorname{Span}\left(B_1\right)$ 
וכן $U_2=\operatorname{Span}\left(B_2\right)$. אזי:
$$\left(\begin{matrix}
\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(v_r \right ) \right ]_B & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(u_s \right ) \right ]_B
\end{matrix} \right )=\left[T \right ]_B=$$
$$=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}
A_1 & 0\\\hline
0 & A_2
\end{array} \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}
A_1e_1\cdots A_1e_r & 0\\\hline
0 & A_2e_1\cdots A_2e_s
\end{array} \end{matrix} \right )$$

אם כן, על פי שוויון כל עמודה, לכל $i=1,\dots,r$, 
$\left[T\left(v_i\right)\right]_B=A_1e_i$,
וכן לכל $j=1,\dots,s$, 
$\left[T\left(u_j\right)\right]_B=A_2e_j$.

כלומר, לכל $v_i\in B_1$, מתקיים $T\left(v_i\right)\in \operatorname{Span}\left(B_1\right)=U_1$, ולכן לכל $v\in U_1$ מתקיים $T\left(v\right)\in U_1$, זאת אומרת ש-$U_1$ תת-מרחב אינווריאנטי. באופן דומה, גם $U_2$ אינווריאנטי, כדרוש.

\item[צעד האינדוקציה] נתונה המטריצה המייצגת
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array}
\end{matrix} \right )=\left (\begin{array}{c|c}\tilde{A} & 0\\\hline 0 & A_k \end{array}  \right )$$

מהמקרה $k=2$ שהוכחנו, נקבל חלוקה של $B$ לאיחוד זר $B=\tilde{B}\cup B_k$, כך ש-$\tilde{U}=\operatorname{Span}\tilde{B}$ ו-$U_k=\operatorname{Span}\left(B_k \right )$ הם תתי-מרחבים אינווריאנטיים. לפי הנחת האינדוקציה, נחלק את $\tilde{B}$ לאיחוד זר, $\tilde{B}=B_1\cup\dots\cup B_{k-1}$, שעבורו $U_i=\operatorname{Span}\left(B_i\right)$ תתי-מרחבים אינווריאנטיים לכל $i=1,\dots,k-1$, כדרוש.

\end{description}

\end{enumerate}

\end{proof}

מהמשפט הזה נגיע למספר מסקנות חשובות.

\begin{cor}

אם $B$ בסיס של $V$ כך ש-$\left[T\right]_B$ אלכסונית בלוקים,
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array}
\end{matrix} \right )$$
אזי לכל $\sigma\in S_k$ קיים בסיס $B'$ של $V$ שעבורו
$$\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A__{\sigma\left(k\right)} \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\end{cor}

\begin{proof}

מהחלק השני של הלמה הקודמת, קיימת חלוקה של $B$ ל-$k$ חלקים זרים, כך שהמטריצה המייצגת תהיה 
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array}
\end{matrix} \right )$$
נסדר את החלקים $B'=B_{\sigma\left(1 \right )}\cup\dots\cup B_{\sigma\left(k \right )}$. לפי החלק הראשון של הלמה, נקבל
$$\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left(k\right)} \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\end{proof}

\begin{cor}

שתי מטריצות אלכסוניות בעלות אותן בלוקים בסדר שונה דומות זו לזו; לכל $\sigma\in S_k$,
$$=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array}
\end{matrix} \right )\sim\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left(k\right)} \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\end{cor}

\begin{proof}

שתי המטריצות הן מייצגות של אותו אופרטור $T$ יחסית לבסיסים שונים.

\end{proof}

נזכיר כי ברצוננו למצוא לכל אופרטור בסיס, שבו המטריצה המייצגת תהיה מצורה מסוימת (שקול: לכל מטריצה למצוא מטריצה דומה מהצורה הזו). כעת ברור שאם נצליח לפרק את המרחב שלנו לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, אזי נוכל להגיע לצורה אלכסונית בלוקים. בחלק הבא, לאחר הלמה שנוכיח מיד, נמצא את המרחבים האלו, ולאחר מכן נראה מהם הבלוקים.