אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א' - היסטוריית גרסאות

איתמר שטיין: /* שאלה 9 */

2012-09-05T15:27:07Z

שאלה 9

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:27, 5 בספטמבר 2012
שורה 273:		שורה 273:

	==שאלה 9==		==שאלה 9==

			היות ו <math>[I]^{B'}_{B}</math> היא מטריצה הפיכה, כמובן שג' לא נכון.

			כמו כן, אם ניקח למשל <math>n=2</math>
			<math>V=\mathbb{R}^2</math>
			<math>B=\{(1,0),(0,1)\}</math>
			ו <math>\sigma = (12)</math>

			נקבל ש <math>B' = \{(0,1),(1,0)\}</math>


			ולכן
			<math>[I]^{B'}_{B}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0\end{bmatrix}</math>

			ואז <math>\|[I]^{B'}_{B}\|=-1=sgn(\sigma)</math>.

			לכן, גם ב' לא נכון.

			נשאר להחליט אם א' נכון תמיד או שאין מספיק מידע.

			נבחר <math>v_i\in B</math>.

			האיבר ה <math>k</math> של <math>B'</math> הוא <math>v_{\sigma(k)}</math>.


			יש <math>1\leq k \leq n</math> כך ש <math>\sigma(k)=i</math> ועבורו <math>v_{\sigma(k)}=v_i</math>.


			לכן <math>[v_i]_{B'}=e_k</math> או באופן יותר ברור <math>[v_i]_{B'} = e_{\sigma^{-1}(i)}</math>.


			לכן <math>C_i([I]^B_{B'})=e_{{\sigma}^{-1}(i)}</math>. (שימו לב שמדובר כאן על <math>[I]^B_{B'}</math> ולא <math>[I]^{B'}_{B}</math>.


			כלומר <math>([I]^B_{B'})_{{\sigma}^{-1}(i),i}=1</math> ושאר כל האיברים הם <math>0</math>.


			באופן יותר ברור אפשר לכתוב <math>([I]^B_{B'})_{i,\sigma(i)}=1</math> ושאר כל האיברים הם <math>0</math>.


			(שימו לב שעבור מטריצה <math>A</math> כלשהיא ותמורה <math>\sigma \in S_n</math> מסוימת,
			<math>\{A_{i,\sigma(i)} \mid i=1,\ldots ,n\} = \{A_{\sigma^{-1}(i),i} \mid i=1,\ldots ,n\}</math>)



			לפי הנוסחא של דטרמיננטה

			<math>\|[I]^B_{B'}\|=\displaystyle\sum_{\tau\in S_n}sgn(\tau){[I]^B_{B'}}_{1,\tau(1)}\cdot\ldots \cdot {[I]^B_{B'}}_{n,\tau(n)}</math>

			אפשר לראות שהמכפלה מתאפסת חוץ מאשר כש <math>\tau = \sigma</math> ולכן זה שווה ל

			<math>sgn(\sigma){[I]^B_{B'}}_{1,\sigma(1)}\cdot\ldots \cdot {[I]^B_{B'}}_{n,\sigma(n)}=sgn(\sigma)</math>

			לכן <math>\|[I]^B_{B'}\|=sgn(\sigma)</math>

			ולכן <math>\|[I]^{B'}_B\|=(\|[I]^B_{B'}\|)^{-1}=(sgn(\sigma))^{-1}=sgn(\sigma)</math>

			לכן התשובה היא א'

	==שאלה 10==		==שאלה 10==

איתמר שטיין: /* שאלה 10 */

2012-09-05T12:38:45Z

שאלה 10

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:38, 5 בספטמבר 2012
שורה 275:		שורה 275:

	==שאלה 10==		==שאלה 10==

			זאת שאלת מתנה.

			אם <math>A\in \mathbb{F}^{5\times 5}</math> מדרגה 3, זה אומר שהיא לא הפיכה.

			לכן <math>\|A\|=0</math>.

			היות ו <math>A\cdot adj(A)= \|A\|I</math>

			נקבל ש <math>A\cdot adj(A)=0</math>.

			התשובה היא ב'.

איתמר שטיין: /* שאלה 8 */

2012-09-05T12:37:20Z

שאלה 8

@@ שורה 244: / שורה 244: @@
 ==שאלה 8==
 ==שאלה 9==
 ==שאלה 10==

איתמר שטיין: /* שאלה 7 */

2012-09-05T12:16:45Z

שאלה 7

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:16, 5 בספטמבר 2012
שורה 211:		שורה 211:

	==שאלה 7==		==שאלה 7==

			לפי משפט הדרגה


			<math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=4</math>.

			מצד שני <math>Im(T)\subseteq W</math> ולכן <math>dimIm(T)\leq dimW=2</math>.

			כלומר

			<math>4=dimKer(T)+dimIm(T) \leq dimKer(T) +2</math> ולכן

			<math>2\leq dimKer(T)</math>

			בנוסף, נשים לב ש <math>T</math> היא העתקת האפס, אם ורק אם <math>dimKer(T)=4</math>, היות ונתון שהיא לא העתקת האפס

			<math>dimKer(T) \leq 3</math>.

			לכן קיבלנו ש <math>2\leq dimKer(T)\leq 3</math>.

			לכן ג' וד' לא נכונים ונשאר להכריע בין א' לב'.

			קל לראות ששתי האפשרויות <math>2,3</math> באמת אפשריות.

			למשל אם <math>V=\mathbb{R}^4</math> ו <math>W=\mathbb{R}^2</math> אז אפשר לקחת

			<math>T(x,y,z,w)=(x,0)</math> וכאן <math>dimKer(T)=3</math>

			ואם מגדירים <math>T(x,y,z,w)=(x,y)</math> אז <math>dimKer(T)=2</math>.

			לכן תשובה ב' נכונה.

	==שאלה 8==		==שאלה 8==

איתמר שטיין: /* שאלה 7 */

2012-09-05T12:07:36Z

שאלה 7

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:07, 5 בספטמבר 2012
שורה 211:		שורה 211:

	==שאלה 7==		==שאלה 7==

			==שאלה 8==

			==שאלה 9==

			==שאלה 10==

איתמר שטיין: /* שאלה 6 */

2012-09-05T12:06:18Z

שאלה 6

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:06, 5 בספטמבר 2012
שורה 205:		שורה 205:

	==שאלה 6==		==שאלה 6==

			הטריק פה הוא להבין שהמטריצה <math>A</math> לא הפיכה בעוד שעבור כל בסיס <math>C</math> המטריצה <math>[I]^S_C</math> היא הפיכה.

			לכן אין בסיסים <math>C</math> שיקיימו את הדרוש והתשובה היא א'.

			==שאלה 7==

איתמר שטיין: /* שאלה 5 */

2012-09-05T12:04:48Z

שאלה 5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:04, 5 בספטמבר 2012
שורה 171:		שורה 171:

	==שאלה 5==		==שאלה 5==

			לפי משפט המימדים

			<math>dim(W_1+W_3)=dim(W_1)+dim(W_3)-dim(W_1 \cap W_3) = 2n-1</math>

			לכן, שוב לפי משפט המימדים

			<math>dim(W_1+W_3+W_2) = dim(W_1+W_3)+dim(W_2)-dim((W_1+W_3)\cap W_2) = 3n-1-dim((W_1+W_3)\cap W_2)</math>


			כעת, היות ו <math>(W_1+W_3)\cap W_2 \subseteq W_2</math> מתקיים ש <math>0 \leq dim((W_1+W_3)\cap W_2) \leq n</math>

			לכן <math>2n-1\leq dim(W_1+W_2+W_3) \leq 3n-1</math>

			שזה כבר פוסל את אפשרויות א'+ב'.

			כדי להיות בטוחים שהתשובה היא ג'. צריך להראות שכל אחד מהמספרים האלה אפשרי.

			אם <math>v_1</math> הוא בסיס ל <math>W_1 \cap W_3</math>, אז אפשר להשלים אותו לבסיס עבור <math>W_1+W_3</math>:

			<math>\{v_1,v_2, \ldots, v_{2n-1}\}</math>.

			ואת הבסיס הזה אפשר להשלים לבסיס של <math>V</math> עם עוד <math>8n+1</math> וקטורים <math>\{u_1,\ldots, u_{8n+1}\}</math>.

			עבור כל <math>0\leq k\leq 10</math> אפשר לבחור <math>k</math> וקטורים מתוך <math>\{u_1,\ldots, u_{8n+1}\}</math>

			ועוד <math>n-k</math> וקטורים מתוך <math>\{v_1,v_2, \ldots, v_{2n-1}\}</math>.

			אם נגדיר את <math>W_2</math> בתור המרחב שנפרש על ידי <math>n</math> וקטורים בלתי תלויים אלו. נקבל שהמימד של
			<math>W_1+W_2+W_3</math> הוא <math>2n-1+k</math>. לכן באמת כל מספר בתחום אפשרי.

			התשובה היא ג'.

			==שאלה 6==

איתמר שטיין: /* שאלה 4 */

2012-09-05T06:39:27Z

שאלה 4

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:39, 5 בספטמבר 2012
שורה 156:		שורה 156:

	==שאלה 4==		==שאלה 4==

			התשובה היא כמובן ג', קבוצה פורשת היא מגודל של לפחות <math>dimV</math> וקבוצה בלתי תלויה לינארית היא מגודל לכל היותר <math>dimV</math>.

			אם נוסיף איבר ל <math>A</math>, יתקיים ש <math>dimV<\|A\|</math> ולא ייתכן שהיא תהיה בת"ל.

			קל גם למצוא דוגמאות נגדיות לאפשרויות האחרות.

			א) ניקח <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>A=\{(1,0),(0,1)\}</math>.

			ב) ניקח <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>A=\mathbb{R}^2</math>.

			ד) כמו א'.


			==שאלה 5==

איתמר שטיין: /* שאלה 3 */

2012-09-05T06:35:41Z

שאלה 3

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:35, 5 בספטמבר 2012
שורה 153:		שורה 153:

	ולכן התשובה הנכונה היא ב. <math>A^2 \neq 0</math> אבל <math>A^3 = 0</math>.		ולכן התשובה הנכונה היא ב. <math>A^2 \neq 0</math> אבל <math>A^3 = 0</math>.


			==שאלה 4==

איתמר שטיין: /* שאלה 3 */

2012-09-05T06:34:35Z

שאלה 3

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:34, 5 בספטמבר 2012
שורה 131:		שורה 131:

	==שאלה 3==		==שאלה 3==

			חישוב פשוט מראה ש

			<math>
			A^2 =
			\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
			\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
			=
			\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
			</math>

			ו

			<math>
			A^3 =
			\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
			\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
			=
			\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
			</math>

			ולכן התשובה הנכונה היא ב. <math>A^2 \neq 0</math> אבל <math>A^3 = 0</math>.