מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* משפט דה-מואבר */

2017-08-22T12:26:23Z

משפט דה-מואבר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:26, 22 באוגוסט 2017
שורה 69:		שורה 69:


	~~נסמן~~ <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math>		נשים לב כי <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math>

ארז שיינר ב־12:25, 22 באוגוסט 2017

2017-08-22T12:25:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:25, 22 באוגוסט 2017
שורה 72:		שורה 72:


	ולכן <math>3\theta = 2\pi k</math>		ולכן <math>4\theta = 2\pi k</math>


	ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math>		ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{4}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math>

ארז שיינר: /* וקטורים */

2012-08-13T06:03:27Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:03, 13 באוגוסט 2012
שורה 103:		שורה 103:

	'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>		'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>


	~~==וקטורים==~~
	באופן דומה למישור המרוכב, וקטור ניתן להצגה בשתי דרכים: גאומטרית ואלגברית. אלגברית, וקטור הוא נקודה כללית במרחב <math>(a_1,a_2,...,a_n)</math>. גאומטרית, וקטור הוא שילוב של '''אורך''' ו'''כיוון'''.


	~~נתחיל מוקטורים במישור, נלמד לחבר באופן גיאומטרי ובאופן אלגברי.~~

	~~באופן גיאומטרי, החיבור בין שני וקטורים הוא אלכסון המקבילית הנוצרת בינהן. מבחינה אלגברית <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math>~~


	כל וקטור במישור ניתן לפירוק לרכיבים שלו על כל אחד מהצירים, זה שקול למעבר מהצורה הפולרית לצורה הקרטזית. פירוק זה משמש אותנו בעיקר בפיסיקה, כאשר אנו מעוניינים לדעת כיצד כוח בזוית מסויימת משפיע על גוף בזוית אחרת- למשל כיצד כוח המשיכה משפיע על קרונית במדרון, מהי הזוית הטובה ביותר לזרוק כדור למרחק וכדומה.


	~~'''הגדרה''': המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא <math>(a,b)(c,d)=(ac,bd)</math>.~~

	~~הזוית בין שני הוקטורים v,u מקיימת~~

	~~::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{\|v\|\cdot \|u\|}</math>~~

	~~כאשר <math>\|v\|,\|u\|</math> הם אורכי הוקטורים.~~

ארז שיינר: /* וקטורים */

2012-08-09T09:33:10Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:33, 9 באוגוסט 2012
שורה 110:		שורה 110:

	נתחיל מוקטורים במישור, נלמד לחבר באופן גיאומטרי ובאופן אלגברי.		נתחיל מוקטורים במישור, נלמד לחבר באופן גיאומטרי ובאופן אלגברי.

			באופן גיאומטרי, החיבור בין שני וקטורים הוא אלכסון המקבילית הנוצרת בינהן. מבחינה אלגברית <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math>


			כל וקטור במישור ניתן לפירוק לרכיבים שלו על כל אחד מהצירים, זה שקול למעבר מהצורה הפולרית לצורה הקרטזית. פירוק זה משמש אותנו בעיקר בפיסיקה, כאשר אנו מעוניינים לדעת כיצד כוח בזוית מסויימת משפיע על גוף בזוית אחרת- למשל כיצד כוח המשיכה משפיע על קרונית במדרון, מהי הזוית הטובה ביותר לזרוק כדור למרחק וכדומה.


			'''הגדרה''': המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא <math>(a,b)(c,d)=(ac,bd)</math>.

			הזוית בין שני הוקטורים v,u מקיימת

			::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{\|v\|\cdot \|u\|}</math>

			כאשר <math>\|v\|,\|u\|</math> הם אורכי הוקטורים.

ארז שיינר: /* וקטורים */

2012-08-09T08:59:29Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:59, 9 באוגוסט 2012
שורה 106:		שורה 106:

	==וקטורים==		==וקטורים==
			באופן דומה למישור המרוכב, וקטור ניתן להצגה בשתי דרכים: גאומטרית ואלגברית. אלגברית, וקטור הוא נקודה כללית במרחב <math>(a_1,a_2,...,a_n)</math>. גאומטרית, וקטור הוא שילוב של '''אורך''' ו'''כיוון'''.


			נתחיל מוקטורים במישור, נלמד לחבר באופן גיאומטרי ובאופן אלגברי.

ארז שיינר: /* משפט דה-מואבר */

2012-08-09T08:56:52Z

משפט דה-מואבר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:56, 9 באוגוסט 2012
שורה 103:		שורה 103:

	'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>		'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>


			==וקטורים==

ארז שיינר: /* משפט דה-מואבר */

2012-08-09T08:49:48Z

משפט דה-מואבר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:49, 9 באוגוסט 2012
שורה 28:		שורה 28:

	::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math>		::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math>



			'''מציאת השורשים''' למשוואה מהצורה:

			::<math>z^n=rcis\theta</math>


			נוסחא: כל השורשים הם מהצורה <math>\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})</math>

			כאשר <math>k=0,1,2,...,n-1</math>



שורה 83:		שורה 95:

	השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.		השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.



	'''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math>		'''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math>



	'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>		'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>

ארז שיינר: /* משפט דה-מואבר */

2012-08-09T08:46:02Z

משפט דה-מואבר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:46, 9 באוגוסט 2012
שורה 70:		שורה 70:

	הוכח כי <math>sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)</math>		הוכח כי <math>sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)</math>


			'''פתרון''':


שורה 80:		שורה 83:

	השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.		השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.


			'''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math>


			'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>

ארז שיינר: /* משפט דה-מואבר */

2012-08-09T08:41:02Z

משפט דה-מואבר

@@ שורה 33: / שורה 33: @@
 '''תרגיל''':
-מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^3=1</math>
+מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^4=1</math>
@@ שורה 64: / שורה 64: @@
 ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math>

ארז שיינר: /* משפט דה-מואבר */

2012-08-09T08:25:42Z

משפט דה-מואבר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:25, 9 באוגוסט 2012
שורה 27:		שורה 27:
	מסקנה: '''משפט דה-מואבר'''		מסקנה: '''משפט דה-מואבר'''

	::<math>\Big(~~r_1cis~~\theta\Big)^n=~~r_1~~^ncis(n\theta)</math>		::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math>



			'''תרגיל''':

			מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^3=1</math>



			'''פתרון''':

			נסמן <math>z=rcis\theta</math>. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:


			::<math>\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)</math>


			::<math>r^4cis(4\theta)=cis(0)</math>


			לכן <math>r=\sqrt[4]{1}=1</math>. ו-<math>\theta</math> היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.


			הזויות המקיימות את זה הן: <math>0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}</math>


			כיצד ניתן לחשב את כולן?


			נסמן <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math>


			ולכן <math>3\theta = 2\pi k</math>


			ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math>