משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום" - היסטוריית גרסאות

אור שחף ב־15:23, 6 באוגוסט 2013

2013-08-06T15:23:30Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:23, 6 באוגוסט 2013
שורה 83:		שורה 83:
	כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}		כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

	:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.		:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 4 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

	==== המספר המינימלי של שאלות ====		==== המספר המינימלי של שאלות ====
	נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(\|S\|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>\|V\|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}		נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(\|S\|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>\|V\|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

אור שחף: /* המספר המינימלי של שאלות */

2013-08-03T19:44:54Z

המספר המינימלי של שאלות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:44, 3 באוגוסט 2013
שורה 86:		שורה 86:

	==== המספר המינימלי של שאלות ====		==== המספר המינימלי של שאלות ====
	נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(\|S\|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>\|V\|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=~~f^{-1}\circ~~\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}		נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(\|S\|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>\|V\|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

אור שחף ב־10:48, 31 ביולי 2013

2013-07-31T10:48:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:48, 31 ביולי 2013
שורה 2:		שורה 2:

	* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?		* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
	* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ~~ואחד מהם~~ טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?		* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, והשלישי שבהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

	ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.		ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

אור שחף ב־10:43, 31 ביולי 2013

2013-07-31T10:43:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:43, 31 ביולי 2013
שורה 47:		שורה 47:
	{{left\|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}		{{left\|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

	הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.		הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n</math> ואז, אם ל־<math>\mathbf A</math> יש <math>n</math> שורות אז היא הפיכה. אם לא אז ניתן למחוק כמה שורות של <math>\mathbf A</math> (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך שהיא תהיה הפיכה.

	:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.		:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.
שורה 83:		שורה 83:
	כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}		כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

	:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.		:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

	==== המספר המינימלי של שאלות ====		==== המספר המינימלי של שאלות ====
	נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(\|S\|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>\|V\|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}		נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(\|S\|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>\|V\|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

אור שחף ב־22:29, 30 ביולי 2013

2013-07-30T22:29:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:29, 30 ביולי 2013
שורה 1:		שורה 1:
	ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.		ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

	* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ~~אין מרגלים, וידוע~~ ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?		* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
	* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ואחד מהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?		* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ואחד מהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

שורה 58:		שורה 58:
	באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.		באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

	:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>~~, שאינם מרגלים~~. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.		:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

	חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.		חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

אור שחף: /* חידות ללא מרגלים */

2013-07-30T22:28:02Z

חידות ללא מרגלים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:28, 30 ביולי 2013
שורה 6:		שורה 6:
	ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.		ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

	~~== חידות ללא מרגלים ==~~		__תוכן__
	{\| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"		{\| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
	! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>		! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>

אור שחף ב־22:26, 30 ביולי 2013

2013-07-30T22:26:48Z

הצגת שינויים

אור שחף: /* מערכת עובדות לינאריות */

2013-07-27T15:21:05Z

מערכת עובדות לינאריות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:21, 27 ביולי 2013
שורה 84:		שורה 84:
	נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>.		נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>.

	:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים ~~בשאלה~~ 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.		:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

	==== מערכת עובדות לא לינאריות ====		==== מערכת עובדות לא לינאריות ====

אור שחף: /* חידות עם שאלות */

2013-07-27T14:53:51Z

חידות עם שאלות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:53, 27 ביולי 2013
שורה 63:		שורה 63:

	=== חידות עם שאלות ===		=== חידות עם שאלות ===
	''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור~~, תלוי~~ בסוגים של תושבים ~~והוא מהצורה~~ <math>~~X_i\leftrightarrow P~~</math> ~~עבור פסוק לוגי~~ <math>P</math> ~~כרצוננו. למשל, את השאלה "האם~~ <math>X_2</math> ~~אביר?~~" ~~שמופנת ל־~~<math>X_1</math> ~~נייצג~~ בתור <math>X_1\leftrightarrow ~~X_2~~</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.		''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, מה היית עונה אם היו שואלים אותך אם אתה אביר?" בתור <math>X_1\leftrightarrow X_1\leftrightarrow X_1\leftrightarrow 1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.

	:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q~~=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}~~=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה ~~– אם נניח, למשל, ש־~~<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\~~end{pmatrix}</math> אזי <math>~~\~~mathbf x=~~\~~begin{pmatrix}1~~\\~~0\\1~~\end{pmatrix}~~</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x~~=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>.		:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

	נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.		נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.
שורה 74:		שורה 74:
	:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון		:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון
	{{left\|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}		{{left\|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
	:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן ~~נמחוק~~ את שורות 2,4 ונקבל		:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
	{{left\|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}		{{left\|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}
	:לפיכך <math>k=2</math>.		:לפיכך <math>k=2</math>.

אור שחף: /* חידות עם שאלות */

2013-07-26T21:21:36Z

חידות עם שאלות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:21, 26 ביולי 2013
שורה 63:		שורה 63:

	=== חידות עם שאלות ===		=== חידות עם שאלות ===
	''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. <math>\mathbf x</math> ~~מוגדר כמקודם~~. ~~מההגדרות נובע שאם~~ <math>\mathbf x</math> ~~הפתרון הנכון אז <math>\mathbf q=\mathbf r</math>~~.		''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.

	:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>.		:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>.

	<!--חידה בסיסית מסוג זה תבקש למצוא שאלות כך שניתן יהיה להסיק את סוגם של כל התושבים. נוכיח שתמיד ניתן להסתפק בווקטור שאלות כך ש־<math>\forall i:\ \exists j:\ Q_i=X_j</math>: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q=\mathbf r</math>. לפיכך, אם יש <math>N</math> פתרונות אפשריים אז יש <math>N</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. ב־<math>\mathbf q</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>N\le2^m</math>. עתה יהי <math>l</math> האורך המינימלי של וקטור שאלות מהצורה <math>\mathbf q'=\begin{pmatrix}X_{i_1}\\\vdots\\X_{i_l}\end{pmatrix}</math> שפותר את החידה וצריך להוכיח ש־<math>l\le m</math>.

	~~לפי המינימליות של <math>l</math> נובע ש־<math>2^{l-1}<N</math>. לכן <math>2^{l-1}<N\le2^m</math>, לפיכך <math>l-1<m</math> ולבסוף <math>l\le m</math>. {{משל}}-->~~

	נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.		נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.
שורה 77:		שורה 73:

	:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון		:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון
	{{left\|<math>\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\1&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}		{{left\|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
	:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל		:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל
	{{left\|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}		{{left\|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}
	:~~שורות~~ <math>~~\mathbf A~~</math> ~~בת״ל ומרחב הפתרונות לא גדל (ובוודאי לא קטן), כדרוש~~.		:לפיכך <math>k=2</math>.

	כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}}		כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}}

	עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ~~לתת־מרחב המשלים האורתוגונלי לו (~~[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement ~~Orthogonal complement~~]) ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}		עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

			נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>.

			:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בשאלה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

	==== מערכת עובדות לא לינאריות ====		==== מערכת עובדות לא לינאריות ====