משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* טורי חזקות */

2015-06-01T05:26:15Z

טורי חזקות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:26, 1 ביוני 2015
שורה 29:		שורה 29:
	# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}		# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}

	'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע ~~׳׳׳סופי׳׳׳~~ של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.		'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע סופי של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.

	'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.		'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.

ארז שיינר: /* משפט 1 */

2015-06-01T05:25:28Z

משפט 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:25, 1 ביוני 2015
שורה 29:		שורה 29:
	# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}		# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}

	'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע של <math>\mathbb R</math> ~~(כולל <math>\mathbb R</math> עצמו)~~. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.		'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע ׳׳׳סופי׳׳׳ של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.

	'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.		'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.

אור שחף ב־20:49, 29 ביולי 2012

2012-07-29T20:49:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:49, 29 ביולי 2012
שורה 1:		שורה 1:
	{{~~הערה~~\|את משפט 10 ~~לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-17.6.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/~~15.5.11~~#continue\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.~~}}		{{המשך הגיע\|תיאור=משפט 10\|תאריך=15.5.11}}

	=התכנסות במ"ש של טורים {{הערה\|(המשך)}}=		=התכנסות במ"ש של טורים {{הערה\|(המשך)}}=

אור שחף: /* משפט 1 */

2011-06-24T11:05:31Z

משפט 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:05, 24 ביוני 2011
שורה 19:		שורה 19:

	==משפט 1==		==משפט 1==
			[[קובץ:רדיוס התכנסות.png\|400px\|ימין]]
	יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:		יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
	# אם x מקיים <math>\|x-x_0\|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט.		# אם x מקיים <math>\|x-x_0\|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט.

אור שחף ב־15:29, 9 ביוני 2011

2011-06-09T15:29:08Z

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 לכן <math>f_1(x+2)=f_1(x)</math> וכן אם <math>x\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_1'(x)\in\{\pm1\}</math>, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר <math>f_2(x)=\frac14f_1(4x)</math> ואז <math>f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x)</math> וכן אם <math>\frac x4\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_2'(x)\in\{\pm1\}</math>. נמשיך להגדיר <math>f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)</math> ולכן <math>f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x)</math> ואם <math>\frac x{4^n}\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}</math>. לבסוף, נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> אזי S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> (כי כל <math>f_n</math> רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: <math>|f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n}</math> ו-<math>\sum\frac1{4^n}</math> מתכנס).
-''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-1, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
+''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-<math>1</math>, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
 ''הוכחה נכונה:'' נאמר ששתי נקודות שונות <math>x_1,x_2\in\mathbb R</math> מקיימות את התכונה <math>P_1</math> הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_1</math> (למשל הקטע <math>[0,1]</math>, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע <math>[-3,-2]</math> וכו'). אם <math>x_1,x_2</math> מקיימות זאת אזי <math>\frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות תכונה <math>P_n</math> אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_n</math>. במקרה כזה <math>\frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נשים לב שאם הנקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות <math>P_n</math> אז הן מקיימות <math>P_{n-1}</math>, ובהכללה <math>P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1</math>. כעת יהי <math>x\in\mathbb R</math> נתון ונוכיח כי <math>S'(x)</math> לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה <math>\{h_m\}</math> כלשהי כך ש-<math>0\ne h_m\to0</math> לא קיים הגבול <math>\lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}</math>. נבחר <math>h_m=\frac2{4^m}</math> אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> מקיימות <math>P_m</math>, ו-<math>h_m=-\frac2{4^m}</math> אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות <math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m</math> כי אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> לא מקיימות <math>P_m</math> אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של <math>f_m</math>. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-<math>f_m</math> הוא <math>\frac4{4^m}</math> ולכן <math>x,x-\frac2{4^m}</math> כן מקיימות <math>P_m</math>. כמו כן ברור כי <math>0\ne h_m\to0</math>. מתקיים <math>\forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}</math>. כיוון ש-<math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1</math> מתקיימת לכל <math>1\le n\le m</math> הטענה <math>\frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}</math>. עבור <math>n>m</math> המחזור של <math>f_n</math> הוא <math>\frac2{4^{n-1}}</math>. אם <math>n>m</math> אז <math>h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1}</math> הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן <math>f_n(x+h_m)=f_n(x)</math>, ומכאן ש-<math>\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0</math>. לפיכך לכל m נקבל <math>\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0</math>. כאשר <math>m\to\infty</math> הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. {{משל}}

אור שחף: המשך יבוא

2011-06-09T11:07:58Z

המשך יבוא

דף חדש

{{הערה|את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-17.6.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

=התכנסות במ"ש של טורים {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמה==
נבנה פונקציה S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר <math>f_1(x)=|x|</math> בקטע <math>[-1,1]</math> עם המשך מחזורי בכל <math>\mathbb R</math>:

[[קובץ:פונקצית ערך מוחלט מחזורית.png|620px]]

לכן <math>f_1(x+2)=f_1(x)</math> וכן אם <math>x\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_1'(x)\in\{\pm1\}</math>, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר <math>f_2(x)=\frac14f_1(4x)</math> ואז <math>f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x)</math> וכן אם <math>\frac x4\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_2'(x)\in\{\pm1\}</math>. נמשיך להגדיר <math>f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)</math> ולכן <math>f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x)</math> ואם <math>\frac x{4^n}\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}</math>. לבסוף, נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> אזי S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> (כי כל <math>f_n</math> רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: <math>|f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n}</math> ו-<math>\sum\frac1{4^n}</math> מתכנס).

''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-1, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.

''הוכחה נכונה:'' נאמר ששתי נקודות שונות <math>x_1,x_2\in\mathbb R</math> מקיימות את התכונה <math>P_1</math> הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_1</math> (למשל הקטע <math>[0,1]</math>, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע <math>[-3,-2]</math> וכו'). אם <math>x_1,x_2</math> מקיימות זאת אזי <math>\frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות תכונה <math>P_n</math> אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_n</math>. במקרה כזה <math>\frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נשים לב שאם הנקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות <math>P_n</math> אז הן מקיימות <math>P_{n-1}</math>, ובהכללה <math>P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1</math>. כעת יהי <math>x\in\mathbb R</math> נתון ונוכיח כי <math>S'(x)</math> לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה <math>\{h_m\}</math> כלשהי כך ש-<math>0\ne h_m\to0</math> לא קיים הגבול <math>\lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}</math>. נבחר <math>h_m=\frac2{4^m}</math> אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> מקיימות <math>P_m</math>, ו-<math>h_m=-\frac2{4^m}</math> אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות <math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m</math> כי אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> לא מקיימות <math>P_m</math> אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של <math>f_m</math>. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-<math>f_m</math> הוא <math>\frac4{4^m}</math> ולכן <math>x,x-\frac2{4^m}</math> כן מקיימות <math>P_m</math>. כמו כן ברור כי <math>0\ne h_m\to0</math>. מתקיים <math>\forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}</math>. כיוון ש-<math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1</math> מתקיימת לכל <math>1\le n\le m</math> הטענה <math>\frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}</math>. עבור <math>n>m</math> המחזור של <math>f_n</math> הוא <math>\frac2{4^{n-1}}</math>. אם <math>n>m</math> אז <math>h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1}</math> הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן <math>f_n(x+h_m)=f_n(x)</math>, ומכאן ש-<math>\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0</math>. לפיכך לכל m נקבל <math>\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0</math>. כאשר <math>m\to\infty</math> הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. {{משל}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:26, 1 ביוני 2015
שורה 29:		שורה 29:
	# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}		# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}

	'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע ~~׳׳׳סופי׳׳׳~~ של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.		'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע סופי של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.

	'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.		'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:25, 1 ביוני 2015
שורה 29:		שורה 29:
	# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}		# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{\|a_n\|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>\|x-x_0\|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ \|a_n\|\cdot\|x-x_0\|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left\|\frac rP\right\|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n(x-x_0)^n\|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ \|x-x_0\|\le r\}</math>. {{משל}}

	'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע של <math>\mathbb R</math> ~~(כולל <math>\mathbb R</math> עצמו)~~. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.		'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע ׳׳׳סופי׳׳׳ של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.

	'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.		'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>\|x-x_0\|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.