משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* הקדמה - הגדרות */

2013-08-12T14:17:33Z

הקדמה - הגדרות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:17, 12 באוגוסט 2013
שורה 50:		שורה 50:
	לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:		לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:
	* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>		* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>
	* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>		* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>

	==משפט 1==		==משפט 1==

אור שחף: בדיקה

2012-07-29T20:28:37Z

בדיקה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:28, 29 ביולי 2012
שורה 112:		שורה 112:
	לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}		לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}

	~~<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>~~{{~~הערה~~\|~~את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/~~22.2.11~~\|הרצאה שאחריה]]:~~}}		{{המשך סיכום\|תאריך=22.2.11}}

	כמו כן,		כמו כן,

82.166.216.211: /* דוגמה */

2011-08-27T14:56:14Z

דוגמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:56, 27 באוגוסט 2011
שורה 87:		שורה 87:
	נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.		נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.

	לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, ~~ןכייוון~~ שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}}		לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

82.166.216.211: /* האינטגרל לפי דרבו */

2011-08-13T14:48:32Z

האינטגרל לפי דרבו

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:48, 13 באוגוסט 2011
שורה 45:		שורה 45:
	=האינטגרל לפי דרבו=		=האינטגרל לפי דרבו=
	==הקדמה - הגדרות==		==הקדמה - הגדרות==
	[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png\|שמאל\|500px]]		[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png\|שמאל\|500px\|ממוזער]]
	תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.		תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega:=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.

	לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:		לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:
	* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>		* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>
	* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>		* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>

	==משפט 1==		==משפט 1==
שורה 59:		שורה 59:
	{{=\|l=m(b-a)		{{=\|l=m(b-a)
	\|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k		\|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k
	\|c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k=</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>=b-a</math>, לכן:		\|c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>b-a=</math>, לכן:
	}}		}}
	{{=\|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)		{{=\|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)

אור שחף ב־15:12, 9 ביולי 2011

2011-07-09T15:12:46Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:12, 9 ביולי 2011
שורה 3:		שורה 3:
	===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===		===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===
	[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png\|300px\|ממוזער\|ימין\|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]		[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png\|300px\|ממוזער\|ימין\|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]
	נתון הגרף של y=x~~<sup>~~2</~~sup~~> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.		נתון הגרף של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.
	נחלק את הקטע:		נחלק את הקטע:
	{{left\|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}		{{left\|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}
	כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).		כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

	מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ~~ביחד מלבנים אלו יוצרים~~ שטח חוסם {{left\|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}		מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" {{left\|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

	כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום {{left\|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}}		כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום" {{left\|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}}

	כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל		כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל
	<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}		<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}

שורה 19:		שורה 19:


	'''הגדרה:''' תהי ~~<math>~~f~~(x)</math>~~ מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה ~~<math>~~F~~(x)</math>~~ קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.		'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.

	''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.		''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.

	==משפט 0==		==משפט 0==
	אם ~~<math>~~F~~(x)</math>~~ ו-~~<math>~~G~~(x)</math>~~ קדומות ל-~~<math>~~f~~(x)</math>~~ בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>		אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===
שורה 36:		שורה 36:
	תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.		תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
	# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.		# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.
	# אם ~~<math>~~F~~(x)</math>~~ קדומה ל-~~<math>~~f~~(x)</math>~~ ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>.		# אם F קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>.

	===הוכחה===		===הוכחה===
	[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png\|ימין\|ממוזער\|350px]]		[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png\|ימין\|ממוזער\|350px]]
	# יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק, <math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק, לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של ~~החלק~~ הירוק. לכן <math>A'(x)</math> ~~הוא~~ הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math>~~, כלומר~~ <math>f(x)</math>. {{משל}}		# יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק ו-<math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק. לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(x)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\Delta x\to0</math>) <math>f(x)=</math>. {{משל}}
	# נתונה פונקציה קדומה ~~<math>~~F~~(x)</math>~~. מחלק 1 ידוע גם ש-~~<math>~~A(x)~~</math> פונקציה קדומה~~. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>~~. לכן~~ <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}		# נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> ולכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}

	=האינטגרל לפי דרבו=		=האינטגרל לפי דרבו=
	==הקדמה - הגדרות==		==הקדמה - הגדרות==
	[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png\|שמאל\|500px]]		[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png\|שמאל\|500px]]
	תהי ~~<math>~~f~~(x)</math>~~ מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f~~(x)~~</math> ו- <math>M:=\sup f~~(x)~~</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:		תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.
	~~{{left\|~~<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}
	עוד נגדיר לכל ~~<math>~~k~~</math>~~ את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.

	לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר		לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:
	<math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.

	בהתאם לכך נגדיר:
	* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>		* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>
	* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>		* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
שורה 64:		שורה 59:
	{{=\|l=m(b-a)		{{=\|l=m(b-a)
	\|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k		\|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k
	\|c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a		\|c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k=</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>=b-a</math>, לכן:
	}}		}}
	{{=\|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)		{{=\|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)
שורה 86:		שורה 81:

	==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==		==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==
	תהי ~~<math>~~f~~(x)</math>~~ מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.		תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.

	===דוגמה===		===דוגמה===
שורה 92:		שורה 87:
	נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.		נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.

	לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>.		לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, ןכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

	מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>~~. הם לא~~ שווים ~~ולכן~~ f לא אינטגרבילית. {{משל}}


שורה 103:		שורה 96:

	==משפט 2==		==משפט 2==
	תהי ~~<math>~~f~~(x)</math>~~ מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז		תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>, תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי
	{{left\|		{{left\|
	<math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>		<math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>

אור שחף: /* הוכחה */

2011-07-09T14:42:43Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:42, 9 ביולי 2011
שורה 27:		שורה 27:

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. ~~לפי תוצאה ממשפט לגראנג'~~ יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}		נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

	----		----

אור שחף: /* משפט 2 */

2011-06-08T13:19:00Z

משפט 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:19, 8 ביוני 2011
שורה 119:		שורה 119:
	לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}		לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}

	{{הערה\|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11\|הרצאה שאחריה]]:}}		<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה\|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11\|הרצאה שאחריה]]:}}

	כמו כן,		כמו כן,

אור שחף ב־21:26, 9 במאי 2011

2011-05-09T21:26:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:26, 9 במאי 2011
שורה 2:		שורה 2:
	'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.		'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
	===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===		===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===
			[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png\|300px\|ממוזער\|ימין\|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]
	נתון הגרף ~~(1)~~ של y=x<sup>2</sup>~~. נחשב~~ את השטח שמתחת לו~~. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).~~		נתון הגרף של y=x<sup>2</sup> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.
			נחלק את הקטע:
	~~ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע~~ <math>[0,1]</math>:
	{{left\|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}		{{left\|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}
	~~(באופן~~ כללי <math>x_k=k/n</math>)		כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

	מעל כל תת קטע ~~קטן~~ <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>		מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם {{left\|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

	כמו כן, מעל כל קטע ~~קטן~~ <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>		כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום {{left\|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}}

	כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל		כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל
	<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}		<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}


	----		----


	'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.		'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
שורה 26:		שורה 27:

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט ~~לגרנג~~' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}		נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגראנג' יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

	----		----

	'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף.		'''הגדרה אינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף.

	==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה\|(בצורה אינטואיטיבית)}}==		==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה\|(בצורה אינטואיטיבית)}}==
שורה 38:		שורה 39:

	===הוכחה===		===הוכחה===
	~~<ol>~~		[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png\|ימין\|ממוזער\|350px]]
	~~<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^b f</math>~~.		# יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק, <math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק, לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק. לכן <math>A'(x)</math> הוא הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math>, כלומר <math>f(x)</math>. {{משל}}
			# נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
	יהי x נתון. ~~כעת~~ לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. ~~בציור~~: <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> ~~= שטח הארובה~~, <math>\Delta x</math> = בסיס ~~הארובה~~, ~~לכן~~ <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של ~~הארובה~~.

	לכן <math>A'(x)</math> = הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =<math>f(x)</math>. {{משל}}
	~~</li>~~
	~~<li>~~נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
	~~</li>~~
	~~</ol>~~

	=האינטגרל לפי דרבו=		=האינטגרל לפי דרבו=
	==הקדמה - הגדרות==		==הקדמה - הגדרות==
			[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png\|שמאל\|500px]]
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:
	{{left\|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}		{{left\|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}
שורה 57:		שורה 52:
	לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר		לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר
	<math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.		<math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.

	~~גרף (4).~~

	בהתאם לכך נגדיר:		בהתאם לכך נגדיר:
שורה 102:		שורה 95:

	מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}}		מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}}


	----		----


	'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.		'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

89.139.218.143: תיקון פונקצית דיריכלה

2011-03-02T19:22:23Z

תיקון פונקצית דיריכלה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:22, 2 במרץ 2011
שורה 16:		שורה 16:
	<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}		<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}

			----


	'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.		'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
שורה 29:		שורה 28:
	נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}		נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

			----

			'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף.

	'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f~~(x)dx~~</math> את השטח שמתחת לגרף.

	==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה\|(בצורה אינטואיטיבית)}}==		==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה\|(בצורה אינטואיטיבית)}}==
	תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.		תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
	# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f~~(t)dt~~</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.		# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.
	# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^~~bf(t)dt~~=F(b)-F(a)</math>.		# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>.

	===הוכחה===		===הוכחה===
	<ol>		<ol>
	<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^~~bf(t)dt~~</math>.		<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^b f</math>.

	יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בציור: <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = שטח הארובה, <math>\Delta x</math> = בסיס הארובה, לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.		יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בציור: <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = שטח הארובה, <math>\Delta x</math> = בסיס הארובה, לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.
שורה 47:		שורה 45:
	לכן <math>A'(x)</math> = הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =<math>f(x)</math>. {{משל}}		לכן <math>A'(x)</math> = הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =<math>f(x)</math>. {{משל}}
	</li>		</li>
	<li>נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^~~bf(x)dx~~</math>. {{משל}}		<li>נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>
שורה 92:		שורה 90:
	נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).		נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

	לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f~~(x)dx~~:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f~~(x)dx~~:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.		לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.

	==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==		==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f~~(x)dx~~=\overline{\int}_a^b f~~(x)dx~~</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f~~(x)dx~~</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.

	===דוגמה===		===דוגמה===
	בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.		בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
	נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.		נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.

	לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>.		לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>.

	מכאן <math>\underline\int_a^b f~~(x)dx~~=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f~~(x)dx~~=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}}		מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}}



			----

	'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.		'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
שורה 142:		שורה 139:

	===מסקנה 2===		===מסקנה 2===
	עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f~~(x)dx~~\le\overline{\int}_a^b f~~(x)dx~~</math>.		עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
	====הוכחה====		====הוכחה====
	מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f~~(x)dx~~=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f~~(x)dx~~</math>. {{משל}}		מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>. {{משל}}

89.139.218.143 ב־11:44, 2 במרץ 2011

2011-03-02T11:44:41Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:44, 2 במרץ 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=אינטגרציה=		{{כותרת נושא\|אינטגרציה\|נושא ראשון}}
	'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. ~~עם זאת~~, האינטגרל ~~נותן אינדיקציה טובה לשטח זה ומאפשר לחשב אותו~~.		'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
			===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===
	====דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף====

	נתון הגרף (1) של y=x<sup>2</sup>. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).		נתון הגרף (1) של y=x<sup>2</sup>. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
שורה 24:		שורה 23:
	''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.		''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.

	===משפט 0===		==משפט 0==
	אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>		אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>

	====הוכחה====		===הוכחה===
	נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}		נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

שורה 35:		שורה 34:
	'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף.		'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף.

	===המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)===		==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה\|(בצורה אינטואיטיבית)}}==
	תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.		תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
	# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.		# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.
	# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.		# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.

	====הוכחה====		===הוכחה===
	<ol>		<ol>
	<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.		<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.
שורה 52:		שורה 51:
	</ol>		</ol>

	==האינטגרל לפי דרבו==		=האינטגרל לפי דרבו=
	===הקדמה - הגדרות===		==הקדמה - הגדרות==
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:
	{{left\|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}		{{left\|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}
שורה 67:		שורה 66:
	* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>		* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>

	===משפט 1===		==משפט 1==
	בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.		בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.

	====הוכחה====		===הוכחה===
	{\|		{\|
	{{=\|l=m(b-a)		{{=\|l=m(b-a)
שורה 95:		שורה 94:
	לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.		לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.

	===הגדרת האינטגרל לפי דרבו===		==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.

	====דוגמה====		===דוגמה===
	בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.		בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
	נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.		נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
שורה 111:		שורה 110:
	'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.		'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

	===משפט 2===		==משפט 2==
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
	{{left\|		{{left\|
שורה 122:		שורה 121:
	כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.		כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.

	====הוכחה====		===הוכחה===
	מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.		מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.
	כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>		כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>
שורה 145:		שורה 144:
	עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>.		עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>.
	====הוכחה====		====הוכחה====
	מסקנה 1 אומרת ~~שלכ~~ שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. {{משל}}		מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. {{משל}}