משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: בדיקה

2012-07-29T20:29:59Z

בדיקה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:29, 29 ביולי 2012
שורה 1:		שורה 1:
	{{~~הערה~~\|את משפט 2 ~~לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-22.2.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/~~20.2.11~~#continue\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.~~}}		{{המשך הגיע\|תיאור=משפט 2\|תאריך=20.2.11}}

	=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=		=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=

אור שחף ב־16:15, 9 ביולי 2011

2011-07-09T16:15:58Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:15, 9 ביולי 2011
שורה 4:		שורה 4:

	==משפט 3==		==משפט 3==
	תהי f ~~כנ"ל~~. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.		תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
	===הוכחה===		===הוכחה===
	הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי ~~אכן מתקיים~~ <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק		הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|\lambda(P)\|=\lambda(P)<\delta</math> אזי <math>\left\|\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\right\|<\varepsilon</math>. ברור מהגדרת האינטגרל העליון כי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק

	<math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>.		<math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>.

	ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}}		ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}}

	==משפט 4==		==משפט 4==
	תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.		תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.
	===הוכחה===		===הוכחה===
	תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.		תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx=\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.

	עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. ~~אם כן אז~~ ממשפט ~~דרבו~~ <math>0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx-\underline\int_a^b f(x)dx</math>. ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}		עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ונוכיח את ההיפך. ממשפט 3 <math>0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)\mathrm dx-\underline\int_a^b f(x)\mathrm dx</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}

	==משפט 5==		==משפט 5==
שורה 24:		שורה 24:
	אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.		אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.

	לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ~~ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים~~ <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך שמתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

	==משפט 6==		==משפט 6==
	תהי ~~<math>~~f~~(x)</math>~~ רציפה ~~וחסומה~~ ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		תהי f רציפה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

	===הוכחה===		===הוכחה===
	~~כעת~~ יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-~~<math>~~f~~(x)</math>~~ רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. ~~אבל מכיוון~~ ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של ~~וירשטרס כל~~ f רציפה ב-<math>[a,b]</math> ~~חסומה~~ שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף		יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-f רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. כיוון ש-f רציפה ושעפ"י המשפט השני של ויירשראס לכל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> יש שם נקודות מינימום ומקסימום, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{b-a}</math> ולבסוף
	{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=~~\frac\varepsilon2\\&<~~\varepsilon\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{b-a}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{b-a}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{b-a}(b-a)\\&=\varepsilon\end{align}</math>}}

	ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}
שורה 38:		שורה 38:
	תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
	===הוכחה===		===הוכחה===
	נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>:		נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה <math>P=\{x_0,\dots,x_n\}</math> כלשהי של <math>[a,b]</math> המקיימת לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) אזי <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k</math>.

	~~<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k</math>.~~		מכאן נובע כי

	~~כעת, אם נבחר לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל~~
	{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}
	נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

אור שחף ב־13:19, 8 ביוני 2011

2011-06-08T13:19:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:19, 8 ביוני 2011
שורה 1:		שורה 1:
	{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-22.2.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#~~משפט 2~~\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}		{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-22.2.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#continue\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

	=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=		=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=

89.139.218.143 ב־14:21, 2 במרץ 2011

2011-03-02T14:21:04Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:21, 2 במרץ 2011
שורה 1:		שורה 1:
	{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן ~~המשכנו~~ אותו ב-22.2.11. ~~עם זאת,~~ [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}		{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-22.2.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

	=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=		=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=

89.139.218.143 ב־13:43, 2 במרץ 2011

2011-03-02T13:43:24Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:43, 2 במרץ 2011
שורה 1:		שורה 1:
	{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}		{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}

			=האינטגרל לפי דרבו {{הערה\|(המשך)}}=

	==משפט 3==		==משפט 3==

89.139.218.143 ב־11:48, 2 במרץ 2011

2011-03-02T11:48:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:48, 2 במרץ 2011
שורה 1:		שורה 1:
	{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}		{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}

	===משפט 3===		==משפט 3==
	תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.		תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
	====הוכחה====		===הוכחה===
	הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק		הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק

שורה 10:		שורה 10:
	ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}}		ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה. {{משל}}

	===משפט 4===		==משפט 4==
	תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.		תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.
	====הוכחה====		===הוכחה===
	תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.		תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.

	עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. אם כן אז ממשפט דרבו <math>0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx-\underline\int_a^b f(x)dx</math>. ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}		עכשיו נניח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. אם כן אז ממשפט דרבו <math>0=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx-\underline\int_a^b f(x)dx</math>. ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}

	===משפט 5===		==משפט 5==
	תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.		תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
	====הוכחה====		===הוכחה===
	אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.		אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.

	לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

	===משפט 6===		==משפט 6==
	תהי <math>f(x)</math> רציפה וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		תהי <math>f(x)</math> רציפה וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

	====הוכחה====		===הוכחה===
	כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף		כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף
	{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}}
שורה 33:		שורה 33:
	ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

	===משפט 7===		==משפט 7==
	תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
	====הוכחה====		===הוכחה===
	נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>:		נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>:

אור שחף: /* הוכחה */

2011-02-24T16:27:03Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:27, 24 בפברואר 2011
שורה 38:		שורה 38:
	נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>:		נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>:

	<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה		<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k</math>.
	<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>.

	כעת, אם נבחר לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל		כעת, אם נבחר לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל
	{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1}\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}
	נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

אור שחף: /* הוכחה */

2011-02-24T16:25:19Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:25, 24 בפברואר 2011
שורה 29:		שורה 29:
	====הוכחה====		====הוכחה====
	כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף		כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף
	{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_a+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_b-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}}

	ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

אור שחף: /* הוכחה */

2011-02-23T13:23:45Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:23, 23 בפברואר 2011
שורה 41:		שורה 41:
	<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>.		<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>.

	כעת, אם נבחר לכל k <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל		כעת, אם נבחר לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל
	{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1}\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1}\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}
	נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

אור שחף ב־13:20, 23 בפברואר 2011

2011-02-23T13:20:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:20, 23 בפברואר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	~~לאחר שהוכחנו~~ את משפט 2 בהרצאה הקודמת ~~נקבל:~~		{{הערה\|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2\|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}}

	~~'''מסקנה:''' נקח f כנ"ל ונניח ש~~-~~P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של <math>[a,b]</math>~~. ~~אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>~~.
	~~הוכחה: נבנה עידון משותף~~
	~~ז"א <math>R=P\cup Q</math>~~. ~~לפי משפט 2 מתקיים <math>\underline S(f~~,~~P)\le\underline S(f,R)\le \overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math>. {{משל}}~~

	~~מסקנה נוספת: עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>.~~
	~~הוכחה: נקח חלוקה P של <math>~~[~~a,b]</math>. לפי כל חלוקה Q של <math>~~[~~a,b]<~~/~~math> מסקנה 1 אומרת <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)<~~/~~math>~~. ~~נקבע את P ונקח סופרימום על כל Q ונקבל <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)\le\overline S(f,P)</math>~~.

	~~לבסוף נקח אינפימום על P ונקבל <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\inf_P\overline S(f,P)=\overline\int_a^b f(x)dx</math>~~. ~~{{משל~~}}

	===משפט 3===		===משפט 3===
	תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\~~overline~~ S(f,P)</math> וכן <math>\overline\~~int_a~~^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\~~underline~~ S(f,P)</math>.		תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
	====הוכחה====		====הוכחה====
	הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ~~לםי~~ הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>~~. כעת נגדיר~~ <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י ~~הוספת~~ r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק		הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק

	<math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>.		<math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>.
שורה 20:		שורה 11:

	===משפט 4===		===משפט 4===
	תהי f כנ"ל. אזי f ~~אינטגרלית~~ ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.		תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.
	====הוכחה====		====הוכחה====
	תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.		תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>.
שורה 31:		שורה 22:
	אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.		אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.

	לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline\~~int_a~~^b f~~\le~~\underline{\~~int}_a~~^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline\~~int_a~~^b f~~\le~~\underline{\~~int}_a~~^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

	===משפט 6===		===משפט 6===
	תהי <math>f(x)</math> ~~מוגדרת~~ וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		תהי <math>f(x)</math> רציפה וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

	====הוכחה====		====הוכחה====
	~~תחילה נעיר שלפי משפט וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם.~~ כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>~~M_k~~=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\~~lex_k~~-x_{k-1}=\Delta x\le\lambda(P)<\delta</math>		כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>\|x_1-x_2\|<\delta</math> אז <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>\|y_k-z_k\|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף
	לכן <math>M_k-m_k=\|f(y_k)-f(z_k)\|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_a+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_b-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}}
	~~לבסוף ...~~

	ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}
שורה 49:		שורה 39:

	<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה		<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה
	<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>		<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>.

	כעת, אם נבחר כל <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל ~~...~~		כעת, אם נבחר לכל k <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל
	נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P) קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>~~</math>,~~ {{משל}		{{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1}\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}}
			נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}