משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* הוכחה */

2012-07-29T20:32:24Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:32, 29 ביולי 2012
שורה 81:		שורה 81:

	{{המשך סיכום\|תאריך=1.3.11}}		{{המשך סיכום\|תאריך=1.3.11}}
			<ol start="2">
	<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>		<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>
	<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\|f(x)-f(y)\|</math>. לכן <math>\Omega(\|f\|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\sup_{x,y\in[a,b]}\|f(x)-f(y)\|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של \|f\| באותו קטע: {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(\|f\|)-m_k(\|f\|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\end{align}</math>}}		<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\|f(x)-f(y)\|</math>. לכן <math>\Omega(\|f\|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\sup_{x,y\in[a,b]}\|f(x)-f(y)\|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של \|f\| באותו קטע: {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(\|f\|)-m_k(\|f\|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\end{align}</math>}}

אור שחף ב־20:31, 29 ביולי 2012

2012-07-29T20:31:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:31, 29 ביולי 2012
שורה 80:		שורה 80:
	#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}		#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}

	~~<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>~~{{~~הערה~~\|~~את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/~~1.3.11~~\|הרצאה שאחריה]]:~~}}		{{המשך סיכום\|תאריך=1.3.11}}
	~~<ol start="2">~~
	<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>		<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>
	<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\|f(x)-f(y)\|</math>. לכן <math>\Omega(\|f\|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\sup_{x,y\in[a,b]}\|f(x)-f(y)\|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של \|f\| באותו קטע: {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(\|f\|)-m_k(\|f\|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\end{align}</math>}}		<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\|f(x)-f(y)\|</math>. לכן <math>\Omega(\|f\|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\sup_{x,y\in[a,b]}\|f(x)-f(y)\|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של \|f\| באותו קטע: {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(\|f\|)-m_k(\|f\|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\end{align}</math>}}

אור שחף: /* הוכחה */

2011-07-11T11:21:02Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:21, 11 ביולי 2011
שורה 28:		שורה 28:
	תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
	===הוכחה===		===הוכחה===
	יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע ש-<math>\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}		יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע כי {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}</math>}}נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}

	===מסקנה 1===		===מסקנה 1===

אור שחף ב־11:19, 11 ביולי 2011

2011-07-11T11:19:05Z

הצגת שינויים

אור שחף: /* הוכחה */

2011-05-04T17:31:59Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:31, 4 במאי 2011
שורה 86:		שורה 86:
	#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}		#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}

	{{הערה\|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11\|הרצאה שאחריה]]:}}		<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה\|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11\|הרצאה שאחריה]]:}}
	<ol start="2">		<ol start="2">
	<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>		<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>

אור שחף: /* משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}} */

2011-03-08T10:44:04Z

משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:44, 8 במרץ 2011
שורה 79:		שורה 79:
	# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>		# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
	\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.		\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
	# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם <~~math>~~\|f\|~~</math~~> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.		# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f <!-- זו לא טעות - f צריכה להיות אינטגרבילית ולא \|f\|. ראו את ההוכחה למשפט --> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.
	# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.		# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.
	# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.		# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.

84.229.228.160: /* משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}} */

2011-03-07T20:16:41Z

משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:16, 7 במרץ 2011
שורה 79:		שורה 79:
	# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>		# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
	\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.		\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
	# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.		# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם <math>\|f\|</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.
	# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.		# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.
	# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.		# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.

אור שחף: /* משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}} */

2011-03-05T12:36:21Z

משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}

אור שחף: /* הקדמה - הגישה של רימן */

2011-03-04T12:10:23Z

הקדמה - הגישה של רימן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:10, 4 במרץ 2011
שורה 54:		שורה 54:
	=האינטגרל לפי רימן=		=האינטגרל לפי רימן=
	==הקדמה - הגישה של רימן==		==הקדמה - הגישה של רימן==
	נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר מספרים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr\|P'}} את התת חלוקה <math>a\le ~~c_0~~<~~c_1~~<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le ~~c_0~~\le x_1\le ~~c_1~~\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>.		נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר מספרים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr\|P'}} את התת חלוקה <math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>.

	גרף (3)		גרף (3)

אור שחף: /* הוכחה */

2011-03-03T21:20:12Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:20, 3 במרץ 2011
שורה 84:		שורה 84:

	===הוכחה===		===הוכחה===
	#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b f+cg\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}		#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}

	{{הערה\|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11\|הרצאה שאחריה]]:}}		{{הערה\|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11\|הרצאה שאחריה]]:}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:44, 8 במרץ 2011
שורה 79:		שורה 79:
	# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>		# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
	\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.		\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
	# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם <~~math>~~\|f\|~~</math~~> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.		# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f <!-- זו לא טעות - f צריכה להיות אינטגרבילית ולא \|f\|. ראו את ההוכחה למשפט --> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.
	# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.		# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.
	# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.		# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:16, 7 במרץ 2011
שורה 79:		שורה 79:
	# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>		# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
	\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.		\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
	# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.		# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם <math>\|f\|</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.
	# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.		# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.
	# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.		# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:36, 5 במרץ 2011
שורה 79:		שורה 79:
	# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>		# {{הערה\|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
	\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.		\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה\|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
	# {{הערה\|(אי-שיוויון המשולש):}} אם \|f\| אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.		# {{הערה\|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>.
	# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.		# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>\|f(x)\|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le M(b-a)</math>.
	# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.		# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.
שורה 89:		שורה 89:
	<ol start="2">		<ol start="2">
	<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>		<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>
	<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\|f(x)-f(y)\|</math>. לכן <math>\Omega(\|f\|)=\sup\left\{\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|:\ x,y\in[a,b]\right\}\le\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math>. <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של \|f\| באותו קטע: <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(\|f\|)-m_k(\|f\|)\Big)\Delta x_k=\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)</math>. כעת נוכיח ש-\|f\| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-\|f\| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>. ~~נעיר שלכל~~ סכום רימן ל-f, <math>\left\|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right\|\le\sum_{k=1}^n \|f(c_k)\|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b\|f\|</math>. {{משל}}</li>		<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|\le\|f(x)-f(y)\|</math>. לכן <math>\Omega(\|f\|)=\sup\left\{\Big\|\|f(x)\|-\|f(y)\|\Big\|:\ x,y\in[a,b]\right\}\le\sup\{\|f(x)-f(y)\|:\ x,y\in[a,b]\}=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math>. <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של \|f\| באותו קטע: {{left\|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(\|f\|)-m_k(\|f\|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\end{align}</math>}}
			כעת נוכיח ש-\|f\| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(\|f\|,P)-\underline S(\|f\|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-\|f\| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right\|\le\sum_{k=1}^n \|f(c_k)\|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b\|f\|</math>. {{משל}}</li>
	<li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>\|f(x)\|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li>		<li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>\|f(x)\|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left\|\int\limits_a^b f\right\|\le\int\limits_a^b \|f\|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li>
	<li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li>		<li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>