תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג - היסטוריית גרסאות

אור שחף ב־11:41, 4 באוקטובר 2013

2013-10-04T11:41:28Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 4 באוקטובר 2013
שורה 179:		שורה 179:
	=== פיזיקה ===		=== פיזיקה ===
	* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.		* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
	* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה ~~למקדם~~ של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).		* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה לריבוע המקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
	* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>\|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>\|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)\|v(t_1)\rangle</math>.		* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>\|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>\|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)\|v(t_1)\rangle</math>.
	* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>\|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{\|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n\|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}\|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>\|\psi'\rangle=P_i\|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi\|P_i\|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.		* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>\|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{\|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n\|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}\|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>\|\psi'\rangle=P_i\|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi\|P_i\|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.

אור שחף: /* תורת היחסות הפרטית */

2013-10-03T10:59:25Z

תורת היחסות הפרטית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:59, 3 באוקטובר 2013
שורה 229:		שורה 229:
	* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.		* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
	* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.		* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.
	* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.		* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math>.
			* '''פקטור לורנץ:''' <math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
	* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.		* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
	* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.		* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
	* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>)~~. לכן השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>~~. לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math>.		* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> (השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>) ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math> ממהירות האור.
	* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.		* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
	* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).		* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).

אור שחף: /* תורת היחסות הפרטית */

2013-10-03T10:41:33Z

תורת היחסות הפרטית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:41, 3 באוקטובר 2013
שורה 228:		שורה 228:
	* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.		* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
	* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.		* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
	* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.		* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.
	* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.		* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
	* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.		* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.

אור שחף ב־10:10, 3 באוקטובר 2013

2013-10-03T10:10:33Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:10, 3 באוקטובר 2013
שורה 140:		שורה 140:
	** {{הערה\|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.		** {{הערה\|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
	* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.		* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
			* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.

	== מכניקת הקוונטים ==		== מכניקת הקוונטים ==

אור שחף ב־09:10, 3 באוקטובר 2013

2013-10-03T09:10:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:10, 3 באוקטובר 2013
שורה 220:		שורה 220:
	== תורת היחסות הפרטית ==		== תורת היחסות הפרטית ==
	* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>\|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)\|=c\|t_2-t_1\|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>\|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')\|=c\|t_2'-t_1'\|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.		* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>\|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)\|=c\|t_2-t_1\|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>\|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')\|=c\|t_2'-t_1'\|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.

	~~=== מערכות ייחוס בתורת היחסות ===~~
	* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).		* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
	* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.		* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
שורה 227:		שורה 225:
	* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.		* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
	* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.		* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
	* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>.		* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
	* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.		* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
	* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.		* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.
	* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.		* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
	* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.		* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
			* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
			* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לכן השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>. לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math>.
			* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
			* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
			* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
			* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
			* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
			::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
			::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.

	== דוגמאות חשובות ==		== דוגמאות חשובות ==

אור שחף: המשך יבוא

2013-10-02T23:03:56Z

המשך יבוא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:03, 2 באוקטובר 2013
שורה 18:		שורה 18:
	* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>		* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
	* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>		* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
			* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

	=== תזכורות ונוסחאות ===		=== תזכורות ונוסחאות ===
שורה 106:		שורה 107:
	* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.		* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
	* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.		* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
	** {{הערה\|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, ~~שאבריה~~ הם טרנספורמציות גליליי.		** {{הערה\|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
	* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.		* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
	* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.		* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.
שורה 216:		שורה 217:
	** <math>c_{l(m+1)}^-=(c_{lm}^+)^*</math>		** <math>c_{l(m+1)}^-=(c_{lm}^+)^*</math>
	-->		-->

			== תורת היחסות הפרטית ==
			* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>\|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)\|=c\|t_2-t_1\|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>\|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')\|=c\|t_2'-t_1'\|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.

			=== מערכות ייחוס בתורת היחסות ===
			* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
			* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
			* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
			* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
			* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
			* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>.
			* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
			* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.
			* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
			* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.

	== דוגמאות חשובות ==		== דוגמאות חשובות ==
שורה 233:		שורה 249:
	* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.		* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
	* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.		* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
	* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא ~~סינוסיאלית~~ בקטע <math>(0,a)</math>. ~~אזי~~ ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.		* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
			* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

אור שחף ב־19:26, 2 באוקטובר 2013

2013-10-02T19:26:54Z

הצגת שינויים

אור שחף: /* מכניקה המילטונית */

2013-10-01T20:37:50Z

מכניקה המילטונית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:37, 1 באוקטובר 2013
שורה 141:		שורה 141:
	* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.		* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
	** {{הערה\|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.		** {{הערה\|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
			* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.

	== מכניקת הקוונטים ==		== מכניקת הקוונטים ==

אור שחף: /* פיזיקה */

2013-10-01T17:23:49Z

פיזיקה

אור שחף ב־16:26, 1 באוקטובר 2013

2013-10-01T16:26:37Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:26, 1 באוקטובר 2013
שורה 170:		שורה 170:
	* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>\|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)\|v_i\rangle\langle v_i\|</math>.		* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>\|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)\|v_i\rangle\langle v_i\|</math>.
	* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty \|\varphi(x)\|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi\|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.		* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty \|\varphi(x)\|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi\|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
	* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb R</math> ו־<math>\\|\~~varphi~~\~~\|^2~~:=\iiint_{-\~~infty~~}^\~~infty\|\varphi~~(x,y,z)~~\|^2~~\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב ~~בנך~~.		* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi\|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
	* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>\|\varphi\rangle</math>, <math>x\|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi\|x\|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.		* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>\|\varphi\rangle</math>, <math>x\|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi\|x\|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
	* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\|\varphi\rangle=\left\|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.		* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\|\varphi\rangle=\left\|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
	* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.		* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
שורה 190:		שורה 190:
	* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>\|x_0\rangle=\|\delta(x-x_0)\rangle</math>.		* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>\|x_0\rangle=\|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
	* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=\|\psi(x_0)\|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b\|\psi(x)\|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.		* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=\|\psi(x_0)\|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b\|\psi(x)\|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
	* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac{\~~mathrm d}~~{\~~mathrm dx~~}</math> . באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.		* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
	* <math>\|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.		* <math>\|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
	* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>\|\psi\rangle=\|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.		* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>\|\psi\rangle=\|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
שורה 197:		שורה 197:
	* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.		* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
	* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14\|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle\|^2</math>.		* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14\|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle\|^2</math>.
			* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המלטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
			* <math>\langle\psi\|\psi\rangle</math> קבוע בזמן.
			* אם <math>\|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(\|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לכן מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\psi\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שייתקבלו בניסוי.
			* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
			*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
			* <math>[L_x,L_y]=mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=mathrm iL_y</math>.
			* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
			* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
			* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left\|\vec L\right\|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
			* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>\|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z\|l,m\rangle=\lambda_m\|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2\|l,m\rangle=\mu_l\|l,m\rangle</math>.
			* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2\|v\rangle=l(l+1)\|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{\|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z\|v_m\rangle=m\|v_m\rangle</math>.
			* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_i:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
			* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.

	== דוגמאות חשובות ==		== דוגמאות חשובות ==
שורה 214:		שורה 227:
	* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.		* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
	* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.		* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
			* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר <math>\psi</math> מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:23, 1 באוקטובר 2013
שורה 193:		שורה 193:
	* <math>\|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.		* <math>\|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
	* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>\|\psi\rangle=\|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.		* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>\|\psi\rangle=\|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
	* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left\|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right\|^2=\|\langle p_0\|\psi\rangle\|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.		* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left\|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right\|^2=\left\|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right\|\psi\right\rangle\right\|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
	* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.		* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
	* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.		* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
שורה 202:		שורה 202:
	* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.		* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
	*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.		*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
	* <math>[L_x,L_y]=mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=mathrm iL_y</math>.		* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
	* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.		* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
	* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.		* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
שורה 208:		שורה 208:
	* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>\|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z\|l,m\rangle=\lambda_m\|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2\|l,m\rangle=\mu_l\|l,m\rangle</math>.		* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>\|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z\|l,m\rangle=\lambda_m\|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2\|l,m\rangle=\mu_l\|l,m\rangle</math>.
	* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2\|v\rangle=l(l+1)\|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{\|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z\|v_m\rangle=m\|v_m\rangle</math>.		* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2\|v\rangle=l(l+1)\|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{\|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z\|v_m\rangle=m\|v_m\rangle</math>.
	* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>~~L_i~~:=L_x-\mathrm iL_y</math>.		* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
	* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.		* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.