הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ (←שברים חלקיים) |
מ (←דוגמאות) |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | # <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | ||
#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}} | #<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}} | ||
− | # <math>\int\frac{e^2x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln|t|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}} | + | # <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln|t|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}} |
# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | # <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | ||
# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} | # <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}} |
גרסה מ־12:00, 18 במרץ 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
-
: נציב
ולכן
דרך אחרת:, נציב
ולכן
: נגדיר
ולכן
-
: נגדיר
ואז
-
: נציב
לקבל
-
:
. לפיכך
-
:
ומכאן נובע
-
: אם
אז
נציבואז
- נתון
קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-
לכל
. ברור כי
. כעת
. לפיכך
לכן.
למשל, עבור
נחשב
:
וכן
. לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי (
פולינומים). כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים:
, כאשר
קבועים ולמכנה
אין שורשים ממשיים (כלומר
).
האינטגרציה של השבר הראשון קלה:
. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
-
-
- נציב
ואז
:
נציבונסמן
:
כאשרהוא בדיוק אותו
שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש
) נחשב ע"י הצבת
, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.
![p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]](/images/math/9/2/3/9232048210562f7110c61b9bfb69e2fa.png)
![p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)](/images/math/b/2/6/b26c62ccc925d7b8050ed7dce53a703e.png)
![\forall i:\ x_i\in\mathbb C](/images/math/d/1/5/d15dfba732d2bbd85100da38c54e5ea1.png)
![x_i](/images/math/0/5/e/05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png)
![\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}](/images/math/6/1/a/61a1f23c5b1a056a2e1341e70fad4927.png)
כעת, בהינתן האינטגרל כאשר
נפרק את
ל-
ו-
כנ"ל, נמצא
כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
-
. A ו-B מקיימים
ונקבל -
: האינטגרנד שווה ל-
. נמצא את A,B,C,D: מתקיים
.
נציבואז
.
נציב:
.
נציבונקבל
.
לבסוף נציבואז
.
לפיכך