הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11"
מ |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
− | # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3 | + | # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}\mathrm dx</math>.<ul><li>שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{x=0}^2=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>.</li><li> דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: <math>t=x^3\implies t|_{x=0}=0,\ t|_{x=2}=8</math> ולכן <math>\int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math><li></ul> |
# נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו לבחור <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים <math>S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>. | # נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו לבחור <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים <math>S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>. | ||
גרסה מ־15:24, 22 במרץ 2011
דוגמאות
-
.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
. לכן
.
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב:
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r.
. לכן השטח הוא
. נציב
... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה
היינו צריכים לבחור
כך ש-
, אבל יכולנו לבחור
כי אז
, ועבור
יכולנו לבחור
. אם כן היינו מוצאים
. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-
, מה שנכון רק כאשר
. הטווח של האינטגרציה היה
, שכולל תחומים בהם
. בתחומים אלה צריך לבחור
ולחלק את הקטע
לתחומים שונים לפי הסימן של
.
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע
מתקיים
כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא
.
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף
בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור
קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו -
. כעת נניח ש-
רציפה ב-
ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של
,
. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל
מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום
ומינימום
בקטע זה. נסמן ב-
הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים
. יוצא שהנפח בסה"כ הוא
ומתקיים
. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק
ובצד שמאל
. ז"א לכל חלוקה P
. נשאיף
וכיוון ש-f רציפה גם
רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול
.
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
.
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4)
. לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- תהא f מוגדרת ורציפה ב-
ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל
נגדיר חלוקה
של הקטע לקטעים שווים
. כאשר לכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}
. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא . לפי בחירת
, לכל k מתקיים
ונובע:
(כאשר
הוא סכום רימן). נשאיף
ומכיוון שבמקרה כזה
מצאנו שהממוצע של f שואף ל-
. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם
רציפה אז
הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
- אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-
נעשה חלוקה
של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות
, כאשר לכל k
. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י
, כאשר
הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2
. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל
ואפשר להגדיר את L ע"י
. לפי זה L תמיד מוגדר
. דוגמה: נגדיר
. היא רציפה בקטע הסגור
אבל אורך הגרף הוא
. גרף (5). כאשר ראינו ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k
(ע"פ משפט לגראנז' ישכזה כך ש-
והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה
. היה נתון ש-
רציפה ולכן גם
רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל
והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף
. נוכיח זאת: נגדיר
וכן
ונניח
. יהי
נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת
של
כך ש-
. אם Q עידון של
אז
ולכן
. כעת נתון ש-
רציפה ולכן
אינטגרבילית ב-
. לכן קיים
כך שאם P חלוקה כלשהי של
כך ש-
ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P
. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של
כך ש-
. כבר למדנו ש-
הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק
ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-
לכן הם שווים.
![]()