הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11"
(המשך יבוא) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{הערה|את | + | {{הערה|את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}} |
=אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה|(המשך)}}= | =אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה|(המשך)}}= | ||
==דוגמה== | ==דוגמה== | ||
<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? | <math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? | ||
+ | |||
+ | נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש סינגולריות רק ב-<math>\pi</math> ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>. | ||
+ | |||
+ | f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{כותרת נושא|סדרות וטורים של פונקציות|נושא שני}} | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע <math>I</math>. לכל <math>x_0\in I</math> נקבל סדרת מספרים <math>\{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty</math> ואפשר לדון ב-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. נגדיר את "תחום ההתכנסות" <math>J\subseteq I</math> של הסדרה כ-<math>J:=\left\{x\in I:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" <math>f:J\to\mathbb R</math> כך ש-<math>f=\lim_{n\to\infty}f_n</math>. | ||
+ | |||
+ | יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות: | ||
+ | # סדרת פונקציות <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math> היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math>, עם <math>x\in I</math> לכל סדרה. זהו מבט נקודתי. | ||
+ | # סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי. | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' נניח שיש לנו סדרת פונקציות <math>\{u_n\}_{n=1}^\infty</math> על I. אפשר לבנות טור <math>\sum_{n=1}^\infty u_n(x)</math> כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)</math> וה-<math>\{S_N\}_{N=1}^\infty</math> סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-<math>S_N</math>, לפי ההגדרה, <math>J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)</math>. | ||
+ | ==דוגמאות== | ||
+ | # <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו. | ||
+ | # נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>. | ||
+ | # הטור הנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&|x|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>. | ||
+ | # נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>|x|<1</math>:{{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=S(x)=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון). | ||
+ | # נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>. | ||
+ | # נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי <math>\forall N:\ 0\le|R_N(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{|x|}\frac{|x|}1\frac{|x|}2\frac{|x|}3\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor}\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ומכאן נובע ש-<math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''טענה:''' e אינו רציונלי. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה ושווה ב-I: | ||
+ | * לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>. | ||
+ | * <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} |f(x)-f_n(x)|=0</math>. |
גרסה מ־19:01, 5 במאי 2011
את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II (המשך)
דוגמה
- מתכנס או מתבדר?
נסמן . לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי . כמו כן יש סינגולריות רק ב- ונרשום: .
f אי-שלילית בקטע . לכן נגדיר ונחשב ולכן מתכנס אם מתכנס, מה שאכן מתקיים: . באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות (השוואה עם ). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס.
נושא שני:
סדרות וטורים של פונקציות
הגדרה: תהי סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע . לכל נקבל סדרת מספרים ואפשר לדון ב-. נגדיר את "תחום ההתכנסות" של הסדרה כ-. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" כך ש-.
יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות:
- סדרת פונקציות היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים , עם לכל סדרה. זהו מבט נקודתי.
- סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי.
הגדרה: נניח שיש לנו סדרת פונקציות על I. אפשר לבנות טור כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים וה- סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-, לפי ההגדרה, . כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא .
דוגמאות
- . זאת סדרת פונקציות על ומתקיים . לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע . נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב- אעפ"י שכל ה- רציפות בנקודה זו.
- נחשב את הפונקציה הגבולית עבור . עבור מתקיים . עבור נקבל . לכן הפונקציה הגבולית היא .
- הטור הנדסי שווה ל-. תחום ההתכנסות הוא .
- נבדוק למה שווה הטור עבור :
גישה אחרת (מבט פונקציונלי): נגדיר . אם יש צדק בעולם ולכן , אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון). - נגדיר . לכן הפונקציה הגבולית היא . אם יש צדק בעולם אז , אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט ולכן לא קיים לאף .
- נתבונן בטור ונוכיח כי . נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש- עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים . כדי להראות ש- נותר להוכיח ש-. ובכן נקח כרצונינו ונשים לב כי
וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: ולכן . נגדיר ולכן ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן ונובע ש-. מהגדרת S נובע כי ז"א , ומכאן נובע ש- ובפרט . ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).
טענה: e אינו רציונלי.
הוכחה: נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן עבור . לכן , אבל , כלומר הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה.
הגדרה: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל קיים הגבול . ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של ל-f במידה ושווה ב-I:
- לכל קיים כך שאם אז לכל .
- .