הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(←פתרון) |
|||
שורה 40: | שורה 40: | ||
נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}} | נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}} | ||
− | ''' | + | '''מסקנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li> |
</ol> | </ol> | ||
שורה 46: | שורה 46: | ||
אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>. | אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>. | ||
+ | |||
===דוגמה 4=== | ===דוגמה 4=== | ||
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math> | נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math> | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}} | הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}} |
גרסה מ־18:14, 15 במאי 2011
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמה 1
חשבו
פתרון
נרשום את האינטגרל כ-. מתבקשת ההצבה
ולכן נקבל
ומכאן קל למצוא את הפתרון.
פתרון
נגדיר. נקבל
.
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמה 2
פתרון
נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1)חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא
. נקבל
נציבאזי
.
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבהאזי
נותר לפתורעבור
. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
פתרון
ראשית נציב. נציב
נקבל:
את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה
ואז
.
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן
וגם
.
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
פתרון
פתרון
נציב
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורהלפיכך
.
ננסה להציב
.
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב
. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו
נציב
או
.
דוגמה 4
נחשב
פתרון
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו![\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}](/images/math/0/b/a/0ba814d4a2b8435dcb3ef1fcf9799e69.png)
![\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}](/images/math/5/e/e/5eedd72e053f6d15536beba0317db79c.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)