הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= ==משפט דיני== אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b...") |
מ (←פתרון) |
||
שורה 18: | שורה 18: | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>. | נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>. | ||
− | נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\ | + | נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>. |
+ | |||
==מבחן ה-M של ווירשטראס== | ==מבחן ה-M של ווירשטראס== | ||
יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I. | יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I. |
גרסה מ־13:21, 28 במאי 2011
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט דיני
אם סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף סדרה עולה לכל . אזי מתכנסת במ"ש ב-.
דוגמה 1
בדוק הכנסות עבור הסדרה בקטע
פתרון
נישם לב שעבור x בקטע . קל לראות גם שפונקצית הגבול . ברור כי רציפות ובקטע מתקיים . ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש.
פתרון
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול ומכיוון ש-.
דוגמה 2
קבעו אם הטור מתכנס ב-.
פתרון
נשתמש בטור הנדסי, נרשום ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 3 משיעור קודם
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן פונקציה רציפה אז היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול .
פתרון
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל יש כך שאם אז . בנוסף נתון ש- מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל מתקיים (בפרט אפשר לבחור . נשים לב ש- מוגדרת היטב ושם לכל ובפרט עבור מתקיים .
מבחן ה-M של ווירשטראס
יהי טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים כך שלכל n גדול מספיק ולכל מתקיים אז מתכנס במ"ש ב-I.
דוגמה 4
הוכח כי מתכנס במ"ש ב-.
פתרון
נרשום את הטור כ- נסמן ונחסום אותה: ו-, שהיא מקסימום כי . נותר לבדוק את קצוות הקטע: . לפי מבחן ה-M של ווירשטרס מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור מתכנס במ"ש.
אינטגרציה איבר-איבר בסדרות
אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים
דוגמה 5
קבע האם מתכנס כאשר ו-. נציב ואז עבור צד ימין (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי </math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.
נראה ש- לא מתכנסת במ"ש.
=פתרון
ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-: ונקבל . מתקיים .