הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1"
מתוך Math-Wiki
(←הגדרה) |
(←שיעור ראשון) |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> | #'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> | ||
#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | #'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי. | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות. | ||
+ | |||
+ | לפי תכונה (4) מתקיים ש <math>0+0=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)a</math> | ||
+ | |||
+ | לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2)) | ||
+ | |||
+ | לפי תכונה (5) לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + 0\cdot a + (-(0\cdot a))</math> |
גרסה מ־17:52, 15 ביולי 2011
תוכן עניינים
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- . (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות-
- אסוציאטיביות-
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים . בנוסף מתקיים ש
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . לצורך קיצור הכתיבה נסמן (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה
- דיסטריביוטיביות/פילוג- . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: , כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש
לכן
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל