הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1"
מתוך Math-Wiki
(←שיעור ראשון) |
(←פתרון) |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות. | ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות. | ||
+ | |||
לפי תכונה (4) מתקיים ש <math>0+0=0</math> | לפי תכונה (4) מתקיים ש <math>0+0=0</math> | ||
− | לכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)a</math> | + | |
+ | לכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a</math> | ||
+ | |||
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2)) | לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2)) | ||
+ | |||
לפי תכונה (5) לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + 0\cdot a + (-(0\cdot a))</math> | לפי תכונה (5) לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + 0\cdot a + (-(0\cdot a))</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שנדרשנו לגזור. |
גרסה מ־17:55, 15 ביולי 2011
תוכן עניינים
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- . (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות-
- אסוציאטיביות-
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים . בנוסף מתקיים ש
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . לצורך קיצור הכתיבה נסמן (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה
- דיסטריביוטיביות/פילוג- . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: , כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש
לכן
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל
עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.