הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1"
(←פתרון) |
(←תרגיל 1.3 סעיף ג') |
||
שורה 34: | שורה 34: | ||
עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שנדרשנו לגזור. | עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שנדרשנו לגזור. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===תרגיל 1.3 סעיף ו'=== | ||
+ | יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו) | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | לכל איבר a בשדה: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | מתכונה (5) <math>a+(-a)=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כמו כן, מתכונה (5) <math>(-a)+(-(-a))=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס <math>a+(-a)=(-a)+(-(-a))</math> | ||
+ | |||
+ | נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר <math>(a+(-a))+a=((-a)+(-(-a)))+a</math> | ||
+ | |||
+ | לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל <math>a=-(-a)</math> כפי שרצינו. |
גרסה מ־05:28, 17 ביולי 2011
תוכן עניינים
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- . (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות-
- אסוציאטיביות-
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים . בנוסף מתקיים ש
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . לצורך קיצור הכתיבה נסמן (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה
- דיסטריביוטיביות/פילוג- . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל 1.3 סעיף ג'
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: , כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש
לכן
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל
לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.
תרגיל 1.3 סעיף ו'
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: . (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)
פתרון
לכל איבר a בשדה:
מתכונה (5)
כמו כן, מתכונה (5)
נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס
נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר
לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל כפי שרצינו.