הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1"
(←הגדרה) |
(←הגדרה) |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math> | #'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math> | ||
#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math> | #'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math> | ||
− | #'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר | + | #'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי) |
− | #'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> | + | #'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> |
#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | #'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | ||
גרסה מ־05:51, 17 ביולי 2011
תוכן עניינים
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- . (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות-
- אסוציאטיביות-
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים . בנוסף מתקיים ש
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . לצורך קיצור הכתיבה נסמן (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר קיים איבר שנסמנו כך שמתקיים . שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה
- דיסטריביוטיביות/פילוג- . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל 1.3 סעיף ג'
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: , כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש
לכן
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל
לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.
תרגיל 1.3 סעיף ו'
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: . (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)
פתרון
לכל איבר a בשדה:
מתכונה (5)
כמו כן, מתכונה (5)
נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס
נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר
לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל כפי שרצינו.
תרגיל 1.3 סעיף ז'
יהי שדה . הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: . (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)
פתרון
מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל,
לפי תכונה (4) קיבלנו
נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל כפי שרצינו.
תרגיל 2.3 סעיף א'
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים אינה שדה.
פתרון
אין איבר נייטרלי לחיבור: ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים .
תרגיל 2.3 סעיף ג'
יש להוכיח ש אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
דעו ש הינו קבוצה מהצורה יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.
פתרון
לפי הנתונים קיימים כך ש . לפיכך, לפי ההגדרה,
.
לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים:
ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדה.