הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(יצירת דף עם התוכן " == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי...") |
|||
(12 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | == הרחבות של שדות == | ||
+ | '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>K/F</math>. באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי). | ||
− | + | '''דוגמא:''' <math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> היא הרחבת שדות ממימד סופי. <math>\mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> היא הרחבת שדות ממימד אינסופי. | |
− | ''' | + | '''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>. |
− | אם <math> | + | '''הרעיון של ההוכחה:''' אם <math>A</math> הוא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>K</math> ו-<math>B</math> הוא בסיס ל-<math>K</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> אז הקבוצה <math>\{ab~|~a\in A, b\in B\}</math> היא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> והיא בעלת <math>[L:K][K:F]</math> איברים (זה לא טריוויאלי). |
− | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | + | '''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה. |
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-<math>\mathbb{C}</math> (וגם ב-<math>\mathbb{R}</math>) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים). | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' אם <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות ו-<math>a\in L</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-<math>F[x]\subseteq K[x]</math>.) | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''סימון:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. מסמנים <math>F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}</math>. | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן | ||
+ | <math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>. | ||
+ | |||
+ | כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא: | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו == | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה והמימד שלו מעל <math>F</math> סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.) | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == איברים אלגבריים - מבט מעמיק == | ||
+ | |||
+ | '''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.) | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' יהי <math>F</math> שדה ויהי <math>K=F(t)</math> (שדה השברים של <math>F[t]</math> = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה <math>t</math>). אזי האיברים האלגבריים מעל <math>K</math> הם רק השדה <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית. אזי איבר <math>a\in L</math> הוא אלגברי מעל <math>K</math> אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' כוון אחד ברור מאליו -- אם <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-<math>a</math> אלגברי מעל <math>K</math> אזי קיים פולינום <math>0\neq f(x)\in K[x]</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. יהיו <math>b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K</math> מקדמי הפולינום <math>f</math>. היות ו-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית, אז כל האיברים <math>b_0,b_1,\ldots,b_n</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. לכן, לפי תרגיל מקודם, <math>K_0=F[b_0,\ldots,b_n]</math> הוא שדה ממימד סופי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>f(x)\in K_0[x]</math> ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>K_0</math>. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-<math>[K_0[a]:K_0]<\infty</math>. לכן <math>[K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty</math>. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה <math>K_0[a]/F</math> אלגברית ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ויהי <math>A</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. יהי <math>A'</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>A</math>. אזי <math>A=A'</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == שדות סגורים אלגברית == | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' שדה <math>F</math> נקרא סגור אלגברית אם לכל <math>f(x)\in F[x]</math> ממעלה 1 או יותר קיים <math>a\in F</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> יש שורש ב-<math>F</math>.) | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' יהי <math>F</math> שדה. אזי התנאים הבאים שקולים: | ||
+ | * <math>F</math> סגור אלגברית | ||
+ | * ל-<math>F</math> אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-<math>F/F</math> (ההרחבה הטריוויאלית). | ||
+ | * כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> מתפרק לגורמים לינאריים. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' תרגיל. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, <math>\mathbb{C}</math>, הוא סגור אלגברית. | ||
+ | |||
+ | '''משפט:''' לכל <math>F</math> קיים שדה <math>K\supseteq F</math> כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית ו-<math>K</math> סגור אלגברית. השדה <math>K</math> יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות. | ||
+ | |||
+ | '''סימון:''' את השדה <math>K</math> מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-<math>\overline{F}</math>. שדה זה נקרא ה'''סגור האלגברי של <math>F</math>'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == עוד תרגילים == | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ונניח ש-<math>K</math> סגור אלגברית. יהי <math>A</math> שדה האיברים האלגבריים מעל <math>F</math> ב-<math>K</math>. הוכיחו כי <math>A</math> הוא הסגור האלגברי של <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' האם <math>\mathbb{R}</math> סגור אלגברית? מדוע? | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' יהי <math>F</math> שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של <math>\overline{F}</math> שווה לעוצמה של <math>F</math>. |
גרסה אחרונה מ־11:14, 25 בנובמבר 2011
תוכן עניינים
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו-
אלגברי מעל
אז הוא גם אלגברי מעל
. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-
.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב-
אלגברי מעל
.
סימון: תהי הרחבת שדות ו-
. מסמנים
.
טענה: תהי הרחבת שדות ו-
. אזי
אלגברי מעל
אם ורק אם המימד של
כמרחב וקטורי מעל
סופי. במקרה זה
שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה
היא בגודל
ולכן תלויה לינארית מעל
. לכן קיימים
, לא כולם 0, כך ש-
. אם נגדיר
אז
ובעצם הראינו
. לכן
אלגברי מעל
.
כוון שני: נניח שקיים כך ש-
. נסמן
. מספיק להראות ש-
קבוצה פורשת (מעל
) ל-
. יהי
אזי
עבור
כלשהו. קיימים פולינומים
כך ש-
וגם
. אזי
ו-
כי
.
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש-
הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל
ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו-
שדה כך ש-
. אזי
שדה. [רמז: לכל
ההעתקה
היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר
היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
. הראו כי
שדה והמימד שלו מעל
סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את
ואת
. (הערה:
מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י
. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות,
אלגבריים מעל
ו-
. הוכיחו כי הקומפוזיטום של
ו-
הוא
.
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים. אזי
הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-. מתקיים
ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה
כי
אלגברי מעל
. בנוסף,
אלגברי מעל
ולכן גם מעל
. כעת, אותה טענה גם אומרת כי
ולכן גמרנו.
מסקנה: אם הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
, אז גם
אלגבריים מעל
.
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם אז גם
אלגברי.
מסקנה: תהי הרחבת שדות. נסמן ב-
את כל האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. אזי
שדה. למעשה,
הוא תת השדה הגדול ביותר של
שאלגברי מעל
.
דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל ב-
הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של
.)
דוגמא: יהי שדה ויהי
(שדה השברים של
= שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה
). אזי האיברים האלגבריים מעל
הם רק השדה
.
טענה: יהיו שדות כך ש-
הרחבה אלגברית. אזי איבר
הוא אלגברי מעל
אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל
.
הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם אלגברי מעל
אז הוא גם אלגברי מעל
. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-
אלגברי מעל
אזי קיים פולינום
כך ש-
. יהיו
מקדמי הפולינום
. היות ו-
הרחבה אלגברית, אז כל האיברים
אלגבריים מעל
. לכן, לפי תרגיל מקודם,
הוא שדה ממימד סופי מעל
. בנוסף,
ולכן
אלגברי מעל
. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-
. לכן
. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה
אלגברית ולכן
אלגברי מעל
.
הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את כי לא היה נתון ש-
.
מסקנה: תהי הרחבת שדות ויהי
שדה האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. יהי
שדה האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. אזי
.
שדות סגורים אלגברית
הגדרה: שדה נקרא סגור אלגברית אם לכל
ממעלה 1 או יותר קיים
כך ש-
. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל
יש שורש ב-
.)
טענה: יהי שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:
-
סגור אלגברית
- ל-
אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-
(ההרחבה הטריוויאלית).
- כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל
מתפרק לגורמים לינאריים.
הוכחה: תרגיל.
דוגמא: המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, , הוא סגור אלגברית.
משפט: לכל קיים שדה
כך ש-
הרחבה אלגברית ו-
סגור אלגברית. השדה
יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.
סימון: את השדה מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-
. שדה זה נקרא הסגור האלגברי של
.
עוד תרגילים
תרגיל: תהי הרחבת שדות ונניח ש-
סגור אלגברית. יהי
שדה האיברים האלגבריים מעל
ב-
. הוכיחו כי
הוא הסגור האלגברי של
.
תרגיל: האם סגור אלגברית? מדוע?
תרגיל: יהי שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של
שווה לעוצמה של
.