הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4"
מתוך Math-Wiki
(הסרת כל התוכן מדף זה) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | נתונות המטריצות <math>A=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1& 1 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & -1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | , B=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 1 & 0 & 1\\ | ||
+ | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & 0 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> האם הן דומות? הוכח את טענת. | ||
+ | כן הן דומות. נוכיח שצורת הג'ורדן של שתיהן שווה, ונקבל ש: <math>A=P^{-1}J_{A}P,\; \; B=C^{-1}J_{B}C ,\; \; J_{A}=J_{B} \Rightarrow J_{B}=J_{A}=CBC^{-1} \Rightarrow A=P^{-1}CJ_{A}C^{-1}P \Rightarrow A=(PC^{-1})^{-1}J_{A}(PC^{-1})</math> | ||
+ | |||
+ | נחשב את הפולינום האופייני של A, ונקבל כי <math>P_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}</math> וגם כי הפולינום המינימלי של A שווה לפולינום האופייני ובסה"כ <math>M_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}</math> | ||
+ | |||
+ | במקרה זה, המטריצה הנ"ל מורכבת משני חלקי ג'ורדן (כאשר באחד <math>\lambda =1</math> ובשני <math>\lambda =-1</math>), וכל אחד מהם בגודל 2. | ||
+ | |||
+ | מכיון שבשניהם הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2, נקבל כי צורת הגורדן היא | ||
+ | |||
+ | <math>J_{A}=\begin{pmatrix} | ||
+ | J_{2}(1) & 0\\ | ||
+ | 0 & J_{2}(-1) | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | נעשה אותו הדבר למטריצה B, ונקבל כי יש לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix} | ||
+ | J_{2}(1) & 0\\ | ||
+ | 0 & J_{2}(-1) | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | וקבלנו כי <math>J_{A}=J_{B}</math> | ||
+ | |||
+ | מ.ש.ל. |
גרסה מ־16:22, 17 בדצמבר 2011
נתונות המטריצות האם הן דומות? הוכח את טענת.
כן הן דומות. נוכיח שצורת הג'ורדן של שתיהן שווה, ונקבל ש:
נחשב את הפולינום האופייני של A, ונקבל כי וגם כי הפולינום המינימלי של A שווה לפולינום האופייני ובסה"כ
במקרה זה, המטריצה הנ"ל מורכבת משני חלקי ג'ורדן (כאשר באחד ובשני ), וכל אחד מהם בגודל 2.
מכיון שבשניהם הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2, נקבל כי צורת הגורדן היא
נעשה אותו הדבר למטריצה B, ונקבל כי יש לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, ולכן
וקבלנו כי
מ.ש.ל.