הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5"
שורה 4: | שורה 4: | ||
מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות. | מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות. | ||
− | נזכור ראשית שהחזקה של הגורם <math>\ x-2</math> בפולינום המינימלי של A | + | נזכור ראשית שהחזקה של הגורם <math>\ x-2</math> בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1. |
+ | אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1. | ||
1) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)=p_A(x)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | 1) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)=p_A(x)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
שורה 11: | שורה 12: | ||
3) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | 3) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
+ | |||
+ | 4) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{2}(x-1)^{2}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
+ | |||
+ | 5) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{2}(x-1)(x-2)</math>, ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 1. | ||
+ | |||
+ | 6) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 0. | ||
+ | בכך ענינו על סעיף ב'. | ||
+ | |||
+ | 7) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{3}(x-1)(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
+ | |||
+ | 8) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x(x-1)^{3}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
+ | |||
+ | 9) לבסוף, עבור הפ"מ <math>M_A(x)=x(x-1)(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א. |
גרסה מ־19:51, 19 בדצמבר 2011
הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה). מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.
נזכור ראשית שהחזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1. אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.
1) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
2) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
3) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
4) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
5) עבור פ"מ , ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 1.
6) עבור פ"מ , ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 0. בכך ענינו על סעיף ב'.
7) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
8) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
9) לבסוף, עבור הפ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א.