הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III"
מ |
מ |
||
שורה 30: | שורה 30: | ||
\end{pmatrix}. | \end{pmatrix}. | ||
− | </math>, <math>\begin{ | + | </math>, <math>\begin{pmatrix} |
J_2 & \\ | J_2 & \\ | ||
& J_1 | & J_1 | ||
− | \end{ | + | \end{pmatrix}</math>, |
<math>J_3</math>. | <math>J_3</math>. | ||
− | כל אחת מהן נילפוטנטית, ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה. | + | כל אחת מהן נילפוטנטית, (קל לבדוק, אבל בגלל שכבר הובהר לי שלא רואים בעין יפה את הביטוי הזה, אפשר לומר שזה נובע ממסקנה 4 בעמוד הראשון [http://math-wiki.com/images/4/46/Hanucca_BlockDiagonal.LinearA2.2010.pdf כאן, שהרי כל אחת מהמטריצות הנ"ל היא סכום ישר של מטריצות נילפוטנטיות (במקרה של J_3 זה סכום ישר באופן לא ממש מעניין, אבל עדיין סכום ישר), |
+ | |||
+ | ולכן לפי המסקנה אם נעלה בחזקה של המקסימום של אינדקסי הנילפוטנטיות של הבלוקים נקבל מטריצת אפסים.]), | ||
+ | ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה. | ||
מש"ל! | מש"ל! | ||
הערה - במהלך הפתרון הסתכלנו על צורות ז'ורדן ש(זהות עד כדי שינוי סדר בלוקים) כזהות. זה ברור, אבל אני פרנואיד וחושש שיגנבו את הפתרון הדי-יפה הזה. מאותה הסיבה, הערה מעניינת תִּמָּצא בדף השיחה של פתרון זה, לא כחלק מהפתרון עצמו. :) | הערה - במהלך הפתרון הסתכלנו על צורות ז'ורדן ש(זהות עד כדי שינוי סדר בלוקים) כזהות. זה ברור, אבל אני פרנואיד וחושש שיגנבו את הפתרון הדי-יפה הזה. מאותה הסיבה, הערה מעניינת תִּמָּצא בדף השיחה של פתרון זה, לא כחלק מהפתרון עצמו. :) |
גרסה מ־12:33, 29 בדצמבר 2011
סימון - .
ראשית נראה שהמספר לא יכול להיות גדול מ-3, ואז נראה שניתן לבנות דוגמה של 3 מטריצות שכאלה. בכך תושלם ההוכחה.
ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. כאן כל שתי מטריצות שונות אינן דומות, ולכן לכל אחת מהן יש צורת ז'ורדן שונה. הן נילפוטנטיות, ולכן בצורת ז'ורדן שלהן הבלוקים המופיעים שייכים לע"ע 0 - כלומר הם בלוקים נילפוטנטיים. הבלוק יכול להיות מסדר של לכל היותר 3, והסדר חייב להיות טבעי. נוסף על כך, סכום הסדרים של הבלוקים בצורת ז'ורדן צריך להסתכם ל-3.
המשימה שלנו, אם כך, היא למצוא בכמה דרכים שונות ניתן למלא מטריצת בלוקים שהיא מסדר 3 בבלוקים נילפוטנטיים.
אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות .
אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות .
האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות .
קיבלנו שמספר הדרכים השונות הוא 3, ולכן לא ייתכן שתהיינה יותר מ3 מטריצות שתצייתנה לתנאי השאלה (שכן אחרת נקבל שצורות ז'ורדן שלהן שונות, ושיש יותר מ-3, בסתירה).
נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את המטריצות
, ,
.
כל אחת מהן נילפוטנטית, (קל לבדוק, אבל בגלל שכבר הובהר לי שלא רואים בעין יפה את הביטוי הזה, אפשר לומר שזה נובע ממסקנה 4 בעמוד הראשון [http://math-wiki.com/images/4/46/Hanucca_BlockDiagonal.LinearA2.2010.pdf כאן, שהרי כל אחת מהמטריצות הנ"ל היא סכום ישר של מטריצות נילפוטנטיות (במקרה של J_3 זה סכום ישר באופן לא ממש מעניין, אבל עדיין סכום ישר),
ולכן לפי המסקנה אם נעלה בחזקה של המקסימום של אינדקסי הנילפוטנטיות של הבלוקים נקבל מטריצת אפסים.]), ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.
מש"ל!
הערה - במהלך הפתרון הסתכלנו על צורות ז'ורדן ש(זהות עד כדי שינוי סדר בלוקים) כזהות. זה ברור, אבל אני פרנואיד וחושש שיגנבו את הפתרון הדי-יפה הזה. מאותה הסיבה, הערה מעניינת תִּמָּצא בדף השיחה של פתרון זה, לא כחלק מהפתרון עצמו. :)