הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10"
שורה 59: | שורה 59: | ||
0 & 0 & 3 & 1\\ | 0 & 0 & 3 & 1\\ | ||
0 & 0 & 0 & 3\\ | 0 & 0 & 0 & 3\\ | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix} |
, | , | ||
B=\begin{pmatrix} | B=\begin{pmatrix} |
גרסה מ־23:22, 8 בינואר 2012
כל שתי מטריצות שמקיימות
הן דומות.
נוכיח כי לשתיהן אותה צורת ג'ורדן, ונקבל כי הנן דומות עקב כך.
קודם כל, מפני שהמטריצות הנן מעל , הן מתפרקות לגומרים לינאריים, ולכן סכום הריבויים האלגבריים הינו סדר המטריצה. לכן
מפני שנשתמש בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי בלבד, הדברים שנגיד פה יהיו נוכנים לגבי A,B כאחד. אני אשתמש בA בשביל הנוחות בלבד.
נחשב את מטריצת הגו'רדן של A. כאשר הינו הבלוק בצורת הג'ורדן של A הכולל את כל הבלוקים של הערך העצמי x.
קל לראות כי הבלוק של 3 הוא מגודל 1 ולכן הוא פשוט המטריצה . לגבי הע"ע 2, הגודל של הבלוק של כל המטריצות של 2, אך הבלוק הגדול ביותר של 2 הוא מגודל 1. לכן זה ולגבי 1, הבלוק של כל המטרצות של הערך 1 הוא מגדול 3. אך הבלוק הגדול ביותר של 1 הינו מגודל 2. לכן זה
ובסה"כ נקבל כי ומיכון שכל מה שעשינו תקף גם לגבי B, נקבל כי גם ובה"כ
וקבלנו כי דומות.
שאלה: האם יש יש משפט שאומר שאם הפול' האופייני והמינימלי שווים, אז למטריצות ישנן אותה צורת ג'ורדן?
תשובה: לא. למשל המטריצות הבאות אינן דומות, כי שתיהן בצורת ג'ורדן והיא לא זהה (גם לא עד כדי סדר הבלוקים), אבל לשתיהן פולינום אופייני ופולינום מינימלי :