הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
מתוך Math-Wiki
שורה 17: | שורה 17: | ||
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
− | נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)= | + | נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>. |
+ | h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. | ||
+ | <math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>. בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0=\frac{1}{x_0}</math>. | ||
==שאלה 3== | ==שאלה 3== |
גרסה מ־13:20, 3 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת
. נניח כי
גזירה ב-
וגם
וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה
ורציפה בנקודה
. אזי
גזירה ב-
, ונגזרתה שם שווה ל-
.
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים
.
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב
. לכן
, ובאותו האופן
, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי
.
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו
ולכן לפי משפט ערך הביניים
. בנקודה זו מתקיים הדרוש -
.