הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"
מתוך Math-Wiki
שורה 5: | שורה 5: | ||
'''פתרון''' | '''פתרון''' | ||
− | נשים לב כי <math>\lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math> | + | [[המספר e#דוגמאות|נשים לב]] כי <math>\lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math> |
ולכן <math>\lim\frac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math> | ולכן <math>\lim\frac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math> |
גרסה מ־09:18, 4 באפריל 2012
פתרון
נשים לב כי
ולכן
ולכן הטור חבר של ולכן מתכנס.
פתרון ישן
נשים לב כי לפחות שני שלישים מאיברי המכפלה גדולים מהמספר .
נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ, ומכיוון שיש לפחות כאלה נקבל ש
(נניח , קל לבדוק את )
נעלה בריבוע ונקבל ש-
ולכן
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)
- (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.