הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
(←10) |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←3) |
||
שורה 55: | שורה 55: | ||
<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx | <math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx | ||
=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c</math> | =\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c</math> | ||
+ | |||
+ | :: יש טעות בהצבה של <math>cos^{2}x</math>, שכן <math>cos^{6}x=(cos^{2}x)^3=\frac{1}{(t^2+1)^3}</math> | ||
==4== | ==4== |
גרסה מ־17:54, 30 באפריל 2012
תוכן עניינים
1
2
פתרון
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
- יש טעות בהצבה של , שכן
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שנייה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t לx.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!
8
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
פתרון
9
פתרון
ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר:
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:
כרגיל להחזיר ולהנות (:
10
הצבה
11
הצבה היפרבולית .
12
פתרון