הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{ | + | {{המשך הגיע|תיאור=משפט 3|תאריך=24.5.11}} |
=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= | =טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= | ||
שורה 29: | שורה 29: | ||
# גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a. | # גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a. | ||
# <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים. | # <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים. | ||
− | # {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. | + | # {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. {{המשך סיכום|תאריך=31.5.11}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}} |
גרסה מ־20:54, 29 ביולי 2012
את משפט 3 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־29.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
משפט 4
נניח שלטור יש רדיוס התכנסות
, אזי:
- f גזירה אינסוף פעמים בקטע
ולכל
מתקיים
. רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R.
- לכל
,
, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב
.
הוכחה
- באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
- הוכחנו בסעיף 1 ש-
. נציב
ונקבל
, כלומר
.
מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)
נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר לכל
, אזי
.
הוכחה
נגדיר פונקציה גבולית .
עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים
.
הערה
חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו אבל
עבור n כלשהו.
דוגמאות
- נמצא את טור מקלורין
של הפונקציה
: ידוע לנו ש-
עבור
. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f.
- נמצא טור טיילור של
סביב
, ז"א
.
דרך 1:נציבלקבל
ולכן הטור הוא
. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
דרך 2:. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר
, כלומר כש-
.
נסכם:בקטע
ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
- נמצא את טור מקלורין של
, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
דרך 1: טור מקלורין הוא, כאשר
מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציהואז נוכל לקבל את הטור עבור
ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת:
עבור
, ז"א
. עתה נעשה אינטגרציה:
לכל
, ולכן
. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של
בתחום
.
אם מותר להציב
אז נקבל את המשוואה היפה
, אבל מכיוון שלא מתקיים
צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-
.
- מצאו את טור טיילור ל-
סביב
וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-
.
דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבלואז נבדוק מתי השארית
שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).
דרך 2:ולכן תחילה נפתח
:
כאשר
. כעת
בתחום
.
עבור
לא מתקיים
, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל
(בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
- (תרגיל ממבחן) נגדיר
. מצאו
: לכל
מתקיים
ונציב
לקבל
. לפי משפט 4 המקדם
של
מקיים
ולכן
.
מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)
הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.
דוגמאות
-
היא מד"ר, שפתרונה הוא
עבור קבוע c כלשהו.
- גם
היא מד"ר, ופתרונה
עבור קבוע a.
-
. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה
עבור a,b קבועים.
- (דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל-
וגם פתרון כך ש-
: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג
עם רדיוס התכנסות
. לפיכך
. צריך להתקיים
ולכן
ולאחר הזזת אינדקסים נקבל:
. את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים
. מכאן ש-
קבועים כלשהם,
, ו-
, לכן
. מכאן נובע ש-
נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-, היחס בין שני איברים עוקבים הוא
, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה)
. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-
הוא
ולכן
הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-
, כלומר
. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-
. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי
: נזכר ש-
ולכן
, כלומר
וגם
, כלומר
. מציבים ערכים אלו של
בפתרון הכללי שמצאנו ל-
וסיימנו את התרגיל.