הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
||
שורה 104: | שורה 104: | ||
*<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math> | *<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math> | ||
+ | הביטוי הריבועי מתאפס ב <math>2 \pm \sqrt{7}</math> . נחלק למקרים: | ||
+ | |||
+ | <math>x \leq 2-\sqrt{7}</math> : <math>x < 0</math> או <math>x > 8</math> לכן סה"כ <math>x \leq 2 - \sqrt{7}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>2-\sqrt{7} < x \leq 1</math>: <math>-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt{7}<x\leq 1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>1 < x \leq 2</math> : <math>1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5}</math> . לכן סה"כ: <math>1 < x \leq 2</math> | ||
+ | |||
+ | <math>2 < x \leq 2 + \sqrt{7}</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2 < x < 4</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x > 2+\sqrt{7}</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> |
גרסה מ־10:31, 8 באוגוסט 2012
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: .
לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב
וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב וב
.
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של
שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש
ו
וערכים חיוביים כש
פתרון:
מתי הביטוי מתאפס: ? לפי נוסחה נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ,
,
, ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה
אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב
. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב
או
: מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
נחלק למקרים: אם נקבל את אי השוויון
ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל
, לכן
וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
פתרון:
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב לכן נתבונן במקרים:
: אי השוויון הוא
לכן
ו
. התשובה היא
: אי השוויון הוא
לכן
לכן
. התשובה היא
. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. ביטוי זה חיובי עבור
או
(בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא
. נפשט ונקבל
ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב. אם
נקבל
וזה לא יתכן. אם
נקבל
וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או
.
: נקבל אי שוויון
. נפשט ונקבל
והפתרון של זה הוא
. סה"כ:
: נקבל אי שוויון
ואחרי פישוט:
. הפתרון הוא
או
לכן סה"כ:
.
: נקבל
. נפשט:
והפתרון הוא
. לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב . נחלק למקרים:
:
או
לכן סה"כ
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
או
. לכן סה"כ:
פתרון: או