הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/1.8.12"
(יצירת דף עם התוכן "……… === דוגמה === <math>y'=\frac{6x+2y+1}{3x+y+1}</math> ==== פתרון ==== <math>\begin{vmatrix}6&2\\3&1\end{vmatrix}=0</math> לכן <math>(6,2)=2...") |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | |||
+ | '''טרם נערך''' | ||
+ | |||
+ | |||
……… | ……… | ||
שורה 10: | שורה 14: | ||
נבדוק <math>z=-\frac45</math> ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־<math>z\ne-\frac45</math> ולכן | נבדוק <math>z=-\frac45</math> ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־<math>z\ne-\frac45</math> ולכן | ||
− | <math>\frac{5z+5}{5z+4}\mathrm dz=5\mathrm dx</math>.{{left|<math>\begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c</math> | + | <math>\frac{5z+5}{5z+4}\mathrm dz=5\mathrm dx</math>.{{left|<math>\begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c\end{align}</math>}} |
ו־<math>3x+y=-\frac45</math> פתרון סינגולרי בצורת קו ישר. | ו־<math>3x+y=-\frac45</math> פתרון סינגולרי בצורת קו ישר. | ||
שורה 18: | שורה 22: | ||
=== דוגמה === | === דוגמה === | ||
− | <math>y'=\frac{x+y-2}{z-y}</math>. אזי <math>\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\ne0</math> ונציב באופן הנ״ל. מתקיים <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{p+q+\alpha+\beta-2}{p-q+\alpha-\beta}</math>. נרצה ש־<math>\begin{cases}\alpha+\beta=2\\\alpha-\beta=0\end{cases}\implies\alpha=\beta=1</math>. לפיכך <math>q'=\frac{p+q}{p-q}=\frac{1+\frac qp}{1-\frac qp}</math> ונסמן <math>z=\frac qp</math>.לפיכך <math>\frac{1+z}{1-z}=\frac{ | + | <math>y'=\frac{x+y-2}{z-y}</math>. אזי <math>\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\ne0</math> ונציב באופן הנ״ל. מתקיים <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{p+q+\alpha+\beta-2}{p-q+\alpha-\beta}</math>. נרצה ש־<math>\begin{cases}\alpha+\beta=2\\\alpha-\beta=0\end{cases}\implies\alpha=\beta=1</math>. לפיכך <math>q'=\frac{p+q}{p-q}=\frac{1+\frac qp}{1-\frac qp}</math> ונסמן <math>z=\frac qp</math>.לפיכך <math>\frac{1+z}{1-z}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm d(p\cdot z)}{\mathrm dp}=z+p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}</math>. נקבל <math>\frac{1+z^2}{1-z}=p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}</math> ומכאן ש־<math>\int\frac{\mathrm dp}p=\int\left(\frac1{1+z^2}-\frac z{1+z^2}\right)\mathrm dz\implies \ln|p|=\arctan(z)-\frac12\ln(1+z^2)+c</math>. לבסוף, <math>\ln|x-1|=\arctan\left(\frac{y-1}{x-1}\right)-\frac12\ln\left(1+\left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right)+c</math>. |
== מד״ר לינאריות מסדר ראשון == | == מד״ר לינאריות מסדר ראשון == | ||
שורה 35: | שורה 39: | ||
==== פתרון ==== | ==== פתרון ==== | ||
− | # כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה <math>I(0)=0</math>. המד״ר היא <math>10I+3\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=50</math>. נביא לצורה <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+\underbrace{\frac{10}3}_{p(t)}I=\underbrace{\frac{50}3}_{q(t)}</math>. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא <math>I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt | + | # כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה <math>I(0)=0</math>. המד״ר היא <math>10I+3\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=50</math>. נביא לצורה <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+\underbrace{\frac{10}3}_{p(t)}I=\underbrace{\frac{50}3}_{q(t)}</math>. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא <math>I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\int\frac{50}3\mathrm e^{\frac{10}3t}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\left(c+5\mathrm e^{\frac{10}3t}\right)=5+c\mathrm e^{-\frac{10}3t}</math> |
……… | ……… | ||
שורה 50: | שורה 54: | ||
== משוואת ברנולי == | == משוואת ברנולי == | ||
− | <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\in\mathbb R\setminus\{0,1\}</math>. ניתן להציב <math>z=y^{1-n}</math> ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית <math>y(x)=\ | + | <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\in\mathbb R\setminus\{0,1\}</math>. ניתן להציב <math>z=y^{1-n}</math> ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית <math>y(x)=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math> |
……… | ……… | ||
שורה 58: | שורה 62: | ||
=== תרגיל === | === תרגיל === | ||
− | פתור את המד״ר <math>2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\ | + | פתור את המד״ר <math>2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0</math>. |
==== פתרון ==== | ==== פתרון ==== | ||
שורה 69: | שורה 73: | ||
……… | ……… | ||
− | ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי <math>\mu(x,y)</math> ונגרוש ש־<math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math> מדוייקת. כדי ש־<math>\mu</math> תהא תלויה ב־<math>x</math> בלבד צריך להתקיים <math>\frac{\frac{\partial </math> | + | ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי <math>\mu(x,y)</math> ונגרוש ש־<math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math> מדוייקת. כדי ש־<math>\mu</math> תהא תלויה ב־<math>x</math> בלבד צריך להתקיים <math>\frac{\frac{\partial }{}}{}</math> |
שורה 75: | שורה 79: | ||
=== תרגיל === | === תרגיל === | ||
− | פתרו <math>\left(1+y^3\right)\mathrm dx+\left(xy^2\right)\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\ | + | פתרו <math>\left(1+y^3\right)\mathrm dx+\left(xy^2\right)\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\partial P}{\partial y}=3y^2</math>. ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל <math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q=-\frac2x</math>, כלומר התלות ב־<math>x</math> בלבד, כדרוש. |
גרסה אחרונה מ־16:52, 8 באוגוסט 2012
טרם נערך
………
תוכן עניינים
דוגמה
פתרון
לכן ונסמן . נציב ונגזור לפי : .
נבדוק ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־ ולכן
.ו־ פתרון סינגולרי בצורת קו ישר.
מקרה 2
. במקרה זה נציב . נבחר את כך שיאפסו את המחוברים הקבועים במונה ובמכנה, וכך נגיע למד״ר הומוגנית עבור כפונקציה של .
דוגמה
. אזי ונציב באופן הנ״ל. מתקיים . נרצה ש־. לפיכך ונסמן .לפיכך . נקבל ומכאן ש־. לבסוף, .
מד״ר לינאריות מסדר ראשון
. אם המד״ר הומוגנית ניתן להפריד משתנים ולהגיע לפתרון . כדי לפתור מד״ר אי־הומוגנית קודם כל פותרים את המד״ר ההומוגנית המתאימה (בודקים ) ואז מציבים במקום . לסיום פותרים עבור הפונקציה .
תרגיל
מצא את הפתרון הכללי של המד״ר .
פתרון
נביא את המד״ר לצורה ע״י חילוק ב־: . לכן . המד״ר ההומוגנית המתאימה היא שפתרונה . נשתמש בווריאציית המקדמים ונצא פתרון מהצורה . נציב במד״ר . עתה ולכן .
תרגיל
נתון מעגל חשמלי כמתואר בציור. לפי חוק קירכהוף הזרם במעגל, , מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית .
- בהנתן שבזמן המעגל פתוח ומייד לאחר מכן סוגרים את המתג, מצא את הזרם החשמלי במעגל בזמן כלשהו.
- מהו הזרם החשמלי במעגל לאחר זמן רב, ?
פתרון
- כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה . המד״ר היא . נביא לצורה . עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא
………
- כעבור זמן רב הזרם הוא (Ampe`re).
תרגיל
פתור בקטע .
פתרון
זוהי מד״ר לינארית מסדר ראשון עם . ע״ס הנוסחה בקטע הנתון ולכן ניתן להתעלם מהערך המוחלט.
………
משוואת ברנולי
. ניתן להציב ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית
………
מד״ר מדויקת
מד״ר מהצורה נקראת מדוייקת בתחום אם קיימת פוקנציה סקלרית כך ש־. אם כן המד״ר היא ופתרונותיה הן עקומות הרמה של . תנאי הכרחי הוא .
תרגיל
פתור את המד״ר .
פתרון
נכפיל ב־ ונקבל ונחפש פונקצית דיפרנציאל כנ״ל.
.
………
ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי ונגרוש ש־ מדוייקת. כדי ש־ תהא תלויה ב־ בלבד צריך להתקיים
…………
תרגיל
פתרו . אזי . ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל , כלומר התלות ב־ בלבד, כדרוש.