הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/1.8.12"
(יצירת דף עם התוכן "……… === דוגמה === <math>y'=\frac{6x+2y+1}{3x+y+1}</math> ==== פתרון ==== <math>\begin{vmatrix}6&2\\3&1\end{vmatrix}=0</math> לכן <math>(6,2)=2...") |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | |||
+ | '''טרם נערך''' | ||
+ | |||
+ | |||
……… | ……… | ||
שורה 10: | שורה 14: | ||
נבדוק <math>z=-\frac45</math> ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־<math>z\ne-\frac45</math> ולכן | נבדוק <math>z=-\frac45</math> ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־<math>z\ne-\frac45</math> ולכן | ||
− | <math>\frac{5z+5}{5z+4}\mathrm dz=5\mathrm dx</math>.{{left|<math>\begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c</math> | + | <math>\frac{5z+5}{5z+4}\mathrm dz=5\mathrm dx</math>.{{left|<math>\begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c\end{align}</math>}} |
ו־<math>3x+y=-\frac45</math> פתרון סינגולרי בצורת קו ישר. | ו־<math>3x+y=-\frac45</math> פתרון סינגולרי בצורת קו ישר. | ||
שורה 18: | שורה 22: | ||
=== דוגמה === | === דוגמה === | ||
− | <math>y'=\frac{x+y-2}{z-y}</math>. אזי <math>\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\ne0</math> ונציב באופן הנ״ל. מתקיים <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{p+q+\alpha+\beta-2}{p-q+\alpha-\beta}</math>. נרצה ש־<math>\begin{cases}\alpha+\beta=2\\\alpha-\beta=0\end{cases}\implies\alpha=\beta=1</math>. לפיכך <math>q'=\frac{p+q}{p-q}=\frac{1+\frac qp}{1-\frac qp}</math> ונסמן <math>z=\frac qp</math>.לפיכך <math>\frac{1+z}{1-z}=\frac{ | + | <math>y'=\frac{x+y-2}{z-y}</math>. אזי <math>\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\ne0</math> ונציב באופן הנ״ל. מתקיים <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{p+q+\alpha+\beta-2}{p-q+\alpha-\beta}</math>. נרצה ש־<math>\begin{cases}\alpha+\beta=2\\\alpha-\beta=0\end{cases}\implies\alpha=\beta=1</math>. לפיכך <math>q'=\frac{p+q}{p-q}=\frac{1+\frac qp}{1-\frac qp}</math> ונסמן <math>z=\frac qp</math>.לפיכך <math>\frac{1+z}{1-z}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm d(p\cdot z)}{\mathrm dp}=z+p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}</math>. נקבל <math>\frac{1+z^2}{1-z}=p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}</math> ומכאן ש־<math>\int\frac{\mathrm dp}p=\int\left(\frac1{1+z^2}-\frac z{1+z^2}\right)\mathrm dz\implies \ln|p|=\arctan(z)-\frac12\ln(1+z^2)+c</math>. לבסוף, <math>\ln|x-1|=\arctan\left(\frac{y-1}{x-1}\right)-\frac12\ln\left(1+\left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right)+c</math>. |
== מד״ר לינאריות מסדר ראשון == | == מד״ר לינאריות מסדר ראשון == | ||
שורה 35: | שורה 39: | ||
==== פתרון ==== | ==== פתרון ==== | ||
− | # כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה <math>I(0)=0</math>. המד״ר היא <math>10I+3\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=50</math>. נביא לצורה <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+\underbrace{\frac{10}3}_{p(t)}I=\underbrace{\frac{50}3}_{q(t)}</math>. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא <math>I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt | + | # כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה <math>I(0)=0</math>. המד״ר היא <math>10I+3\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=50</math>. נביא לצורה <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+\underbrace{\frac{10}3}_{p(t)}I=\underbrace{\frac{50}3}_{q(t)}</math>. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא <math>I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\int\frac{50}3\mathrm e^{\frac{10}3t}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\left(c+5\mathrm e^{\frac{10}3t}\right)=5+c\mathrm e^{-\frac{10}3t}</math> |
……… | ……… | ||
שורה 50: | שורה 54: | ||
== משוואת ברנולי == | == משוואת ברנולי == | ||
− | <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\in\mathbb R\setminus\{0,1\}</math>. ניתן להציב <math>z=y^{1-n}</math> ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית <math>y(x)=\ | + | <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\in\mathbb R\setminus\{0,1\}</math>. ניתן להציב <math>z=y^{1-n}</math> ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית <math>y(x)=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math> |
……… | ……… | ||
שורה 58: | שורה 62: | ||
=== תרגיל === | === תרגיל === | ||
− | פתור את המד״ר <math>2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\ | + | פתור את המד״ר <math>2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0</math>. |
==== פתרון ==== | ==== פתרון ==== | ||
שורה 69: | שורה 73: | ||
……… | ……… | ||
− | ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי <math>\mu(x,y)</math> ונגרוש ש־<math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math> מדוייקת. כדי ש־<math>\mu</math> תהא תלויה ב־<math>x</math> בלבד צריך להתקיים <math>\frac{\frac{\partial </math> | + | ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי <math>\mu(x,y)</math> ונגרוש ש־<math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math> מדוייקת. כדי ש־<math>\mu</math> תהא תלויה ב־<math>x</math> בלבד צריך להתקיים <math>\frac{\frac{\partial }{}}{}</math> |
שורה 75: | שורה 79: | ||
=== תרגיל === | === תרגיל === | ||
− | פתרו <math>\left(1+y^3\right)\mathrm dx+\left(xy^2\right)\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\ | + | פתרו <math>\left(1+y^3\right)\mathrm dx+\left(xy^2\right)\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\partial P}{\partial y}=3y^2</math>. ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל <math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q=-\frac2x</math>, כלומר התלות ב־<math>x</math> בלבד, כדרוש. |
גרסה אחרונה מ־16:52, 8 באוגוסט 2012
טרם נערך
………
תוכן עניינים
דוגמה
פתרון
לכן ונסמן
. נציב
ונגזור לפי
:
.
נבדוק ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־
ולכן
![\frac{5z+5}{5z+4}\mathrm dz=5\mathrm dx](/images/math/8/4/c/84c47719f59de2dad72c011daca58641.png)
![\begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c\end{align}](/images/math/3/4/c/34c3994667ed7db317c70b29f10aa5da.png)
ו־ פתרון סינגולרי בצורת קו ישר.
מקרה 2
. במקרה זה נציב
. נבחר את
כך שיאפסו את המחוברים הקבועים במונה ובמכנה, וכך נגיע למד״ר הומוגנית עבור
כפונקציה של
.
דוגמה
. אזי
ונציב באופן הנ״ל. מתקיים
. נרצה ש־
. לפיכך
ונסמן
.לפיכך
. נקבל
ומכאן ש־
. לבסוף,
.
מד״ר לינאריות מסדר ראשון
. אם המד״ר הומוגנית ניתן להפריד משתנים ולהגיע לפתרון
. כדי לפתור מד״ר אי־הומוגנית קודם כל פותרים את המד״ר ההומוגנית המתאימה (בודקים
) ואז מציבים
במקום
. לסיום פותרים עבור הפונקציה
.
תרגיל
מצא את הפתרון הכללי של המד״ר .
פתרון
נביא את המד״ר לצורה ע״י חילוק ב־
:
. לכן
. המד״ר ההומוגנית המתאימה היא
שפתרונה
. נשתמש בווריאציית המקדמים ונצא פתרון מהצורה
.
נציב במד״ר
. עתה
ולכן
.
תרגיל
נתון מעגל חשמלי כמתואר בציור. לפי חוק קירכהוף הזרם במעגל, , מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית
.
- בהנתן שבזמן
המעגל פתוח ומייד לאחר מכן סוגרים את המתג, מצא את הזרם החשמלי במעגל בזמן
כלשהו.
- מהו הזרם החשמלי במעגל לאחר זמן רב,
?
פתרון
- כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה
. המד״ר היא
. נביא לצורה
. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא
………
- כעבור זמן רב הזרם הוא
(Ampe`re).
תרגיל
פתור בקטע
.
פתרון
זוהי מד״ר לינארית מסדר ראשון עם . ע״ס הנוסחה
בקטע הנתון
ולכן ניתן להתעלם מהערך המוחלט.
………
משוואת ברנולי
. ניתן להציב
ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית
………
מד״ר מדויקת
מד״ר מהצורה נקראת מדוייקת בתחום
אם קיימת פוקנציה סקלרית
כך ש־
. אם כן המד״ר היא
ופתרונותיה
הן עקומות הרמה של
. תנאי הכרחי הוא
.
תרגיל
פתור את המד״ר .
פתרון
נכפיל ב־ ונקבל
ונחפש פונקצית דיפרנציאל
כנ״ל.
.
………
ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי ונגרוש ש־
מדוייקת. כדי ש־
תהא תלויה ב־
בלבד צריך להתקיים
…………
תרגיל
פתרו . אזי
. ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל
, כלומר התלות ב־
בלבד, כדרוש.