הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
(←שיטות לפתרון מד״ר) |
מ (←שיטות לפתרון מד״ר) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי. | * '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי. | ||
* נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. | * נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. | ||
− | * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+ | + | * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. בנוסף, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. |
− | * אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>y=zx- | + | * אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>y=zx-\int x\mathrm dz</math>. בנוסף, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>. |
* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה. | * '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה. | ||
* '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>. | * '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>. |
גרסה מ־12:00, 13 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי
פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־
בתיבה
, ונתונים תנאי ההתחלה
. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע
.
- כל מד״ר מסדר
שקולה למערכת של
מד״ר מסדר 1:
. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה
. אם
אזי
פתרון, ואם
אזי
פתרון. אחרת
.
- נתונה מד״ר
. אז נציב
ו־
.
- הכללה: נתונה מד״ר
. אם
נציב
כאשר
. אחרת נבחר
ונציב
.
- הכללה: נתונה מד״ר
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר
. אזי נציב
ו־
.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר
. אם היא לינארית־הומוגנית אזי
, ובכל מקרה
.
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר
. נציב
, כאשר אם
אז
פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־
), אם
אז פתרון סינגולרי, ואם
אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים:
.
- מד״ר מהצורה
היא מדויקת אם״ם יש
כך ש־
שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
כך שתהפוך למדויקת.
תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
. היא תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה
. הפתרון הכללי הוא מהצורה
. אם
פתרון אזי
הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר
ממעלה
. אזי קיימות פונקציות
שעבורן
.
- אם
נציב
ואז
. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- אם
נציב
ואז
. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה
. נבחר פונקציה
שעבורה
, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת
. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים)
היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר
. אזי
או (כאשר
)
.
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר
עבור
. נציב
ואז
. לפיכך
מקיים
או
(מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־
מקיים
.
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר
או
נציב
ונקבל
או
, בהתאמה. מתקיים
ו־
.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה המד״ר היא תמיד , וכן
הם פולינומים ממעלה
או פחות.
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
מימדי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות
מגדירים
.
- אם
ת״ל אזי
.
- אם
פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום
וכן
אזי הם ת״ל.
- אם
- משפט ליוביל: אם
פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי
.
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא
, כאשר
הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־
פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים
פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא
כאשר
. באופן שקול:
, כאשר
.
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב
, ולכן
וגם
. אם השורשים השונים זה מזה הם
והריבויים שלהם
בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא
. אם
אינו ממשי ניתן לכתוב
ואז, כיוון ש־
שורש עם אותו ריבוי, נציב
.
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן
, כאשר
קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של
ב־
הוא
(במידה ו־
לא שורש נאמר
). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה
כאשר
. הערה: אם
נוכל לפתור עבור
בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.