היטל

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו[math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי [math]\displaystyle{ B=\{w_1,...,w_n\} }[/math] בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו [math]\displaystyle{ \pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{\lt v,w_i\gt }{\lt w_i,w_i\gt }w_i }[/math] (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור [math]\displaystyle{ \pi_W(v)\in W }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ v-\pi_W(v)\in W^\perp }[/math]

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ממימד n ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] למרחב V מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k }[/math]

ב. יהי [math]\displaystyle{ S=\{s_1,...,s_n\} }[/math] בסיס כלשהו למרחב V ותהי [math]\displaystyle{ G_S }[/math] מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

[math]\displaystyle{ |G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2 }[/math]

פתרון:

א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו [math]\displaystyle{ \{u_1,...,u_k\} }[/math] לתת המרחב U

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n\lt \pi_U(v_i),\pi_U(v_i)\gt =\sum_{i=1}^n\Big(\lt \sum_{j=1}^k\lt v_i,u_j\gt u_j,\sum_{j=1}^k\lt v_i,u_j\gt u_j\gt \Big)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k\lt \lt v_i,u_j\gt ,\lt v_i,u_j\gt \gt \Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\lt \lt u_j,v_i\gt ,\lt u_j,v_i\gt \gt \Big)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{j=1}^k\Big(\lt \sum_{i=1}^n\lt u_j,v_i\gt v_i,\sum_{i=1}^n\lt u_j,v_i\gt v_i\gt \Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big) }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \pi_V(u_j)=u_j }[/math] וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים כך ש [math]\displaystyle{ \dim{U}=m, \dim{W}=k }[/math]

א. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =\lt \pi_U(v),u\gt }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in Y, v\in V }[/math]

ב. נגדיר אופרטור [math]\displaystyle{ P_U:U\rightarrow U }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u)) }[/math].

הוכיחו כי לכל שני וקטורים [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt P_U(u_1),u_2\gt =\lt u_1,P_U(u_2)\gt }[/math]