הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (החלפת הדף בתוכן "*הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>") |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 1) ב) | ||
+ | |||
+ | ידוע כי | ||
+ | <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math> | ||
+ | |||
+ | נניח ש | ||
+ | |||
+ | <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | (במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>) | ||
+ | |||
+ | הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math> | ||
+ | |||
+ | נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע. | ||
+ | |||
+ | לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | זה מוכיח את טענת העזר. | ||
+ | |||
+ | כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>b_n>\frac{c}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | בגלל שהטור | ||
+ | <math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> | ||
+ | מתבדר | ||
+ | |||
+ | נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר. |
גרסה מ־10:45, 27 בינואר 2013
1) ב)
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ )
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו מתקיים
בגלל שהטור מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.