הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 69: | שורה 69: | ||
<math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+c</math> | <math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+c</math> | ||
+ | =שאלה 3= | ||
+ | |||
+ | ==סעיף א== | ||
+ | |||
+ | צריך לבדוק אם <math>\int_1^\infty \sin\sqrt{x}dx</math> מתכנס או מתבדר. | ||
+ | |||
+ | הצעה לפתרון: ננסה לחשב את <math>\lim_{b\to\infty} \int_1^b \sin \sqrt{x} dx</math>. נסתכל על <math>\int \sin\sqrt x dx</math>. ע"י החלפת משתנים נקבל <math>\sqrt{x}=t \Rightarrow \frac1{2\sqrt x} dx = dt \Rightarrow dx=2tdt</math> | ||
+ | |||
+ | קיבלנו <math>\int 2t\sin t dt</math>. ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים (<math>u=2t, v'=\sin t</math>) כי האינטגרל הוא <math>2\sin(t)- 2t\cos t + C</math> ולכן מתקיים: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{b\to\infty} \int_1^\infty \sin\sqrt x dx = \lim_{b\to\infty} (2\sin\sqrt b - 2\sqrt{b}\cos\sqrt{b})-(2\sin1-2\cos1)</math> וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר | ||
=שאלה 4= | =שאלה 4= | ||
גרסה מ־18:31, 9 ביולי 2013
תוכן עניינים
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
שאלה 3
סעיף א
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ננסה לחשב את . נסתכל על . ע"י החלפת משתנים נקבל
קיבלנו . ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים () כי האינטגרל הוא ולכן מתקיים:
וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
שאלה 4
הפרכה: ניקח את . נראה כי וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע היא ולכן אנחנו מחפשים את .
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה.
נרצה לחשב כעת את