הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 61: | שורה 61: | ||
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y | ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y | ||
+ | |||
+ | ==מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות== | ||
+ | ===הגדרה=== | ||
+ | תהי <math>f \in C^r(U)</math> כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
+ | |||
+ | יהי <math>h \in \mathbb{R}^n</math>. נגדיר <math>\varphi(t)=f(a+th)</math>, אז מתקיים ש- <math>\varphi</math> גזירה r פעמים ב-0. | ||
+ | |||
+ | לכן ניתן להגדיר: <math>d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0)</math> | ||
+ | |||
+ | ===משפט=== | ||
+ | <math>d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha</math> | ||
==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות== | ==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות== |
גרסה מ־12:52, 30 בינואר 2014
תוכן עניינים
משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי כך ש- קבוצה קומפקטית ו- רציפה ב- , אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: , ולכל נסמן את בהתאם: .
לכן לכל k מתקיים:
כיוון שכל הנקודות ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה שמתכנסת לנקודה שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- . מתוך הנתון ש- f רציפה ב- נקבל ש- אך אם כך, בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- . משל
היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות
צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)
משפט 1
תהי כך ש- ותהי כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל קיימת נגזרת חלקית והיא שווה ל-
(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- כך ש- זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)
הוכחה 1
כך ש- .
לכן,
כיוון ש- והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה וקיבלנו את מה שרצינו.
משפט 2
תהי כך ש- ותהי כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
הוכחה 2
יהי אז . מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,
דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות
הגדרה
תהי כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- .
יהי . נגדיר , אז מתקיים ש- גזירה r פעמים ב-0.
לכן ניתן להגדיר:
משפט
תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות
המשפט
תהי ותהי נקודה
נניח ש-
1. עבור דלתא מספר קטן קיימות
2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
הוכחה
עבור n=2: