הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:בסיס ומימד של סכום ישר"
(יצירת דף עם התוכן "הוכחנו מספר תנאים שקולים להיות סכום ישר, ונשאלת השאלה - כמרחב וקטורי, מהו המימד שלו? באלגב...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
הוכחנו מספר תנאים שקולים להיות סכום ישר, ונשאלת השאלה - כמרחב וקטורי, מהו המימד שלו? באלגברה לינארית 1, הוכחנו שעבור 2 מרחבים, המימד של הסכום הישר הוא סכום המימדים. נוכיח שנוסחה דומה עובדת במקרה הכללי: | הוכחנו מספר תנאים שקולים להיות סכום ישר, ונשאלת השאלה - כמרחב וקטורי, מהו המימד שלו? באלגברה לינארית 1, הוכחנו שעבור 2 מרחבים, המימד של הסכום הישר הוא סכום המימדים. נוכיח שנוסחה דומה עובדת במקרה הכללי: | ||
| − | \ | + | \begin{lem} |
יהי $V=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$. אזי: | יהי $V=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$. אזי: | ||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| − | \item אם $B_i$ בסיס של $U_i$ | + | \item אם $B_i$ בסיס של $U_i$ (לכל $i=1,\dots,k$), אזי $B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_k$ בסיס של $V$. |
\item $\dim V=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$. | \item $\dim V=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$. | ||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| − | \ | + | \end{lem} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 19: | שורה 21: | ||
\item נוכיח פרישה ובת"ל. | \item נוכיח פרישה ובת"ל. | ||
| − | \begin{ | + | \begin{description} |
| − | \item | + | \item[$B$ פורשת] יהי $v\in V$. אזי קיימים $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ שעבורם $v=u_1+\cdots+u_k$. כל $u_i$ ניתן להציג באמצעות איברים מ-$B$, ולכן גם $v$ ניתן להציג באמצעות איברים מ-$B$, כלומר $B$ פורשת. |
| − | \item | + | \item[$B$ בת"ל] נובע מסעיף 2 מהלמה הקודמת. |
| − | \end{ | + | \end{description} |
\item כמסקנה ישירה מהסעיף הקודם, | \item כמסקנה ישירה מהסעיף הקודם, | ||
| + | $$\dim V=\left|B\right|=\left | B_1 \right |+\cdots+\left | B_k \right |=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$$ | ||
| − | + | \end{enumerate} | |
| − | \end{ | + | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
הוכחנו מספר תנאים שקולים להיות סכום ישר, ונשאלת השאלה - כמרחב וקטורי, מהו המימד שלו? באלגברה לינארית 1, הוכחנו שעבור 2 מרחבים, המימד של הסכום הישר הוא סכום המימדים. נוכיח שנוסחה דומה עובדת במקרה הכללי:
\begin{lem}
יהי $V=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$. אזי:
\begin{enumerate}
\item אם $B_i$ בסיס של $U_i$ (לכל $i=1,\dots,k$), אזי $B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_k$ בסיס של $V$.
\item $\dim V=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item נוכיח פרישה ובת"ל.
\begin{description}
\item[$B$ פורשת] יהי $v\in V$. אזי קיימים $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ שעבורם $v=u_1+\cdots+u_k$. כל $u_i$ ניתן להציג באמצעות איברים מ-$B$, ולכן גם $v$ ניתן להציג באמצעות איברים מ-$B$, כלומר $B$ פורשת.
\item[$B$ בת"ל] נובע מסעיף 2 מהלמה הקודמת.
\end{description}
\item כמסקנה ישירה מהסעיף הקודם, $$\dim V=\left|B\right|=\left | B_1 \right |+\cdots+\left | B_k \right |=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$$
\end{enumerate}
\end{proof}
