הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"
(יצירת דף עם התוכן "\subsection{דוגמה 1 - מטריצת היחידה} ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות: \begin{list_type}...") |
|||
| שורה 6: | שורה 6: | ||
\item \underline{שיטה ראשונה} - נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$. | \item \underline{שיטה ראשונה} - נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$. | ||
| − | \item | + | |
| + | \item \underline{שיטה שנייה (לפי המשפט)} - נשים לב כי $\lambda I-A=\begin{pmatrix} | ||
| + | \lambda-1 & &0 \\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \lambda-1 | ||
| + | \end{pmatrix}$. לכן, $\det\left(\lambda I-A\right) = \left(\lambda-1\right)^n$. אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$. | ||
\end{list_type} | \end{list_type} | ||
| − | לסיכום, | + | לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1. |
גרסה מ־13:11, 10 באוגוסט 2014
\subsection{דוגמה 1 - מטריצת היחידה}
ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:
\begin{list_type}
\item \underline{שיטה ראשונה} - נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$.
\item \underline{שיטה שנייה (לפי המשפט)} - נשים לב כי $\lambda I-A=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda-1 \end{pmatrix}$. לכן, $\det\left(\lambda I-A\right) = \left(\lambda-1\right)^n$. אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $spec\left(I_n\right)=\left{1\right}$.
\end{list_type}
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.
