הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"
(יצירת דף עם התוכן "\subsection{דוגמה 1 - מטריצת היחידה} ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות: \begin{list_type}...") |
מ (13 גרסאות יובאו) |
||
| (12 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים. | |
| − | + | \begin{example}[מטריצת היחידה] | |
| − | \ | + | ניקח $A=I_n$, ונחפש את $\operatorname{spec}\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות: |
| − | \ | + | \begin{description} |
| − | + | ||
| − | \ | + | \item[שיטה ראשונה - חישוב ישיר] |
| − | לסיכום, | + | נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר |
| + | $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$. | ||
| + | |||
| + | \item[שיטה שנייה - לפי המשפט] | ||
| + | |||
| + | נשים לב כי | ||
| + | $$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | \lambda-1 & &0 \\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \lambda-1 | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$ | ||
| + | אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$. | ||
| + | |||
| + | לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1. | ||
| + | |||
| + | \end{description} | ||
| + | |||
| + | \end{example} | ||
| + | |||
| + | \begin{example}[מטריצה אלכסונית כללית] | ||
| + | |||
| + | נסמן | ||
| + | $$A=D=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | \alpha_1 & &0 \\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \alpha_n | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | נרצה לדעת מהו $\operatorname{spec}\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: | ||
| + | $$\lambda I-D=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | \lambda-\alpha_1 & &0 \\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \lambda-\alpha_n | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$. | ||
| + | |||
| + | קיבלנו ש-$\operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$. | ||
| + | |||
| + | אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה. | ||
| + | |||
| + | \end{example} | ||
| + | |||
| + | \begin{example}[מטריצה משולשת עליונה] | ||
| + | |||
| + | ניקח | ||
| + | $$A=T=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | \alpha_1 & & \star\\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \alpha_n | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | מטריצה משולשת עליונה. | ||
| + | |||
| + | על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים | ||
| + | $\operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$. | ||
| + | |||
| + | \end{example} | ||
| + | |||
| + | \begin{example} | ||
| + | |||
| + | ניקח מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ את המטריצה | ||
| + | $$A=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | 0 &1 \\ | ||
| + | -1 &0 | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | אזי | ||
| + | $$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | \lambda & -1\\ | ||
| + | 1 & \lambda | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | לפי חישוב, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0$, אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-$\mathbb{R}$. | ||
| + | |||
| + | אם כן, $\operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset$. | ||
| + | |||
| + | \end{example} | ||
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים.
\begin{example}[מטריצת היחידה]
ניקח $A=I_n$, ונחפש את $\operatorname{spec}\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:
\begin{description}
\item[שיטה ראשונה - חישוב ישיר]
נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.
\item[שיטה שנייה - לפי המשפט]
נשים לב כי $$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda-1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda-1 \end{matrix} \right )$$ לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$ אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.
\end{description}
\end{example}
\begin{example}[מטריצה אלכסונית כללית]
נסמן $$A=D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )$$ נרצה לדעת מהו $\operatorname{spec}\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: $$\lambda I-D=\left ( \begin{matrix} \lambda-\alpha_1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda-\alpha_n \end{matrix} \right )$$ הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$.
קיבלנו ש-$\operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.
אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה.
\end{example}
\begin{example}[מטריצה משולשת עליונה]
ניקח $$A=T=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )$$ מטריצה משולשת עליונה.
על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים $\operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.
\end{example}
\begin{example}
ניקח מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ את המטריצה $$A=\left ( \begin{matrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{matrix} \right )$$ אזי $$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda & -1\\ 1 & \lambda \end{matrix} \right )$$ לפי חישוב, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0$, אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-$\mathbb{R}$.
אם כן, $\operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset$.
\end{example}
