הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:דוגמאות לפולינומים מאפסים"
(יצירת דף עם התוכן "נראה שתי דוגמאות לפולינומים מאפסים. \begin{enumerate} \item עבור $A=I_k$, נסתכל על $f=x-1$. באופן ברור $f\neq...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| + | \begin{example} | ||
| + | |||
נראה שתי דוגמאות לפולינומים מאפסים. | נראה שתי דוגמאות לפולינומים מאפסים. | ||
| שורה 5: | שורה 7: | ||
\item עבור $A=I_k$, נסתכל על $f=x-1$. באופן ברור $f\neq 0$, וכן $f\left(A \right )=A-1\cdot I_k=I_k-I_k=0$. כלומר, $f$ פולינום מאפס ל-$A$. | \item עבור $A=I_k$, נסתכל על $f=x-1$. באופן ברור $f\neq 0$, וכן $f\left(A \right )=A-1\cdot I_k=I_k-I_k=0$. כלומר, $f$ פולינום מאפס ל-$A$. | ||
| − | \item עבור $A=\left ( \begin{matrix} | + | \item עבור |
| + | $$A=\left ( \begin{matrix} | ||
\lambda_1 &0 \\ | \lambda_1 &0 \\ | ||
0 &\lambda_2 | 0 &\lambda_2 | ||
| − | \end{matrix} \right )$ | + | \end{matrix} \right )$$ |
| − | + | נסתכל על הפולינום האופייני $f=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\left(x-\lambda_1\right)\left(x-\lambda_2 \right )$. נציב את $A$: | |
| − | $f\left(A\right)=A^2-\left(\lambda_1+\lambda_2 \right )A+\lambda_1\lambda_2I=\left ( \begin{matrix} | + | $$f\left(A\right)=A^2-\left(\lambda_1+\lambda_2 \right )A+\lambda_1\lambda_2I=$$ |
| + | $$=\left ( \begin{matrix} | ||
\lambda_1^2 &0 \\ | \lambda_1^2 &0 \\ | ||
0 &\lambda_2^2 | 0 &\lambda_2^2 | ||
| שורה 24: | שורה 28: | ||
0 &0 \\ | 0 &0 \\ | ||
0 &0 | 0 &0 | ||
| − | \end{matrix} \right )=0$ | + | \end{matrix} \right )=0$$ |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{example} | ||
הדוגמה האחרונה מעניינת. נשאלת השאלה האם זהו צירוף מקרים, שהפולינום האופייני הוא מאפס של המטריצה, או שזה נכון רק למטריצות אלכסוניות (ואולי אפילו ללכסינות?). התשובה נתונה במשפט הבא, המוכיח שזה נכון תמיד. | הדוגמה האחרונה מעניינת. נשאלת השאלה האם זהו צירוף מקרים, שהפולינום האופייני הוא מאפס של המטריצה, או שזה נכון רק למטריצות אלכסוניות (ואולי אפילו ללכסינות?). התשובה נתונה במשפט הבא, המוכיח שזה נכון תמיד. | ||
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
\begin{example}
נראה שתי דוגמאות לפולינומים מאפסים.
\begin{enumerate}
\item עבור $A=I_k$, נסתכל על $f=x-1$. באופן ברור $f\neq 0$, וכן $f\left(A \right )=A-1\cdot I_k=I_k-I_k=0$. כלומר, $f$ פולינום מאפס ל-$A$.
\item עבור $$A=\left ( \begin{matrix} \lambda_1 &0 \\ 0 &\lambda_2 \end{matrix} \right )$$ נסתכל על הפולינום האופייני $f=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\left(x-\lambda_1\right)\left(x-\lambda_2 \right )$. נציב את $A$: $$f\left(A\right)=A^2-\left(\lambda_1+\lambda_2 \right )A+\lambda_1\lambda_2I=$$ $$=\left ( \begin{matrix} \lambda_1^2 &0 \\ 0 &\lambda_2^2 \end{matrix} \right )- \left(\begin{matrix} \lambda_1^2+\lambda_1\lambda_2 &0 \\ 0 &\lambda_2^2+\lambda_1\lambda_2 \end{matrix} \right )- \left(\begin{matrix} \lambda_1\lambda_2 &0 \\ 0 &\lambda_1\lambda_2 \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{matrix} \right )=0$$
\end{enumerate}
\end{example}
הדוגמה האחרונה מעניינת. נשאלת השאלה האם זהו צירוף מקרים, שהפולינום האופייני הוא מאפס של המטריצה, או שזה נכון רק למטריצות אלכסוניות (ואולי אפילו ללכסינות?). התשובה נתונה במשפט הבא, המוכיח שזה נכון תמיד.
