הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הגדרת ריבוי אלגברי וגיאומטרי"
(יצירת דף עם התוכן "כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה...") |
|||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
\textbf{הגדרה:} | \textbf{הגדרה:} | ||
| − | יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$. | + | יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$. |
| − | \textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda)^k|p_T\left(x \right )$ )במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$(. | + | |
| + | \textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda\right)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right )$ )במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$(. | ||
| + | |||
\textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(. | \textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(. | ||
| שורה 15: | שורה 17: | ||
\item $1\leq k_\lambda\leq n$ | \item $1\leq k_\lambda\leq n$ | ||
| − | \textit{הוכחה} | + | \textit{הוכחה:} |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 22: | שורה 24: | ||
\item $k_\lambda\leq n$ על פי השוואת דרגות. | \item $k_\lambda\leq n$ על פי השוואת דרגות. | ||
| + | |||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \item $1\leq m_\lambda\leq n$ | ||
| + | |||
| + | \textit{הוכחה:} | ||
| + | |||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \item $1\leq m_\lambda$ כי $\lambda$ ע"ע, ולכן קיים $0\neq v\in V_\lambda\left(T \right )$. | ||
| + | |||
| + | \item $m_\lambda\leq n$ כי $V_\lambda\left(T \right )$ תת-מרחב של $V$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
גרסה מ־13:24, 17 באוגוסט 2014
כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן:
\textbf{הגדרה:}
יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$.
\textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda\right)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right )$ )במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$(.
\textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(.
\underline{הערה:}
לכל $\lambda\in\mathbb{F}$,
\begin{enumerate}
\item $1\leq k_\lambda\leq n$
\textit{הוכחה:}
\begin{enumerate}
\item $1\leq k_\lambda$ כי $\lambda$ שורש של הפולינום האופייני.
\item $k_\lambda\leq n$ על פי השוואת דרגות.
\end{enumerate}
\item $1\leq m_\lambda\leq n$
\textit{הוכחה:}
\begin{enumerate}
\item $1\leq m_\lambda$ כי $\lambda$ ע"ע, ולכן קיים $0\neq v\in V_\lambda\left(T \right )$.
\item $m_\lambda\leq n$ כי $V_\lambda\left(T \right )$ תת-מרחב של $V$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
