הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הגדרת ריבוי אלגברי וגיאומטרי"
| שורה 1: | שורה 1: | ||
כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן: | כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן: | ||
| − | \ | + | \begin{definition} |
יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$. | יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$. | ||
| − | \textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda\right)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right )$ | + | \textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda\right)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right )$ (במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$). |
\textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(. | \textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(. | ||
| − | \ | + | \end{definition} |
| + | |||
| + | \begin{remark} | ||
לכל $\lambda\in\mathbb{F}$, | לכל $\lambda\in\mathbb{F}$, | ||
| שורה 17: | שורה 19: | ||
\item $1\leq k_\lambda\leq n$ | \item $1\leq k_\lambda\leq n$ | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 26: | שורה 28: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
\item $1\leq m_\lambda\leq n$ | \item $1\leq m_\lambda\leq n$ | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 38: | שורה 42: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{remark} | ||
גרסה מ־13:19, 2 בספטמבר 2014
כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן:
\begin{definition}
יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$.
\textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda\right)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right )$ (במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$).
\textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית(.
\end{definition}
\begin{remark}
לכל $\lambda\in\mathbb{F}$,
\begin{enumerate}
\item $1\leq k_\lambda\leq n$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $1\leq k_\lambda$ כי $\lambda$ שורש של הפולינום האופייני.
\item $k_\lambda\leq n$ על פי השוואת דרגות.
\end{enumerate}
\end{proof}
\item $1\leq m_\lambda\leq n$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $1\leq m_\lambda$ כי $\lambda$ ע"ע, ולכן קיים $0\neq v\in V_\lambda\left(T \right )$.
\item $m_\lambda\leq n$ כי $V_\lambda\left(T \right )$ תת-מרחב של $V$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
